Неустойчивый фокус

Устойчивый фокус

Центр

Если характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных мнимых корня, то особая точка называется центром.

Такая ситуация возникает, если коэффициенты уравнения

.

В этом случае характеристическое уравнение имеет вид

Оглавление

,

а его корни

.

Уравнение фазовых траекторий

имеет интеграл

который определяет семейство фазовых траекторий уравнения. Из формул видно, что, фазовые траектории в случае центра представляют собой семейство эллипсов с полуосями, зависящими от начальных условий, и равными соответственно

Фазовые кривые в случае центра приведены на рисунке 1.

Особая точка типа центр является устойчивой особой точкой. Всегда можно подобрать такие начальные условия для координаты и скорости, что в дальнейшем траектория не выходит за пределы сколь угодно малой окрестности особой точки.

Рис. 1 Фазовый портрет центра

Оглавление

Решение уравнения в случае имеет вид

,

то есть, представляет собой гармонические колебания. Графики зависимости для различных начальных условий приведены на рисунке 2.

Константы в формулах зависят от начальных условий. Период колебаний и, соответственно, время, за которое изображающая точка обойдет начало координат по замкнутой кривой, одинаково для всех траекторий и равно.

Рис. 2 Зависимость в случае особой точки типа центр

Если характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня с отрицательной действительной частью, то особая точка называется устойчивым фокусом.

Это возможно, если коэффициент

.

а дискриминант квадратного уравнения отрицателен

Оглавление

Фазовые траектории для этого случая имеют вид закручивающихся по часовой стрелке спиралей и приведены на рисунке 3. Решение уравнения при выполнении условий и будет

Графики зависимости для различных начальных условий приведены на рисунке 4. Константы в формулах зависят от начальных условий. Период колебаний, (если так его можно назвать в уже, вообще говоря, непериодическом движении), и, соответственно, интервал между двумя последовательными моментами времени попадания траектории на положительную полуось для всех траекторий одинаков и равен.

Устойчивый фокус является асимптотически устойчивой особой точкой.

Рис. 3 Фазовый портрет устойчивого фокуса

Оглавление

Рис. 4 Зависимость в случае устойчивого фокуса

Если характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня с положительной действительной частью, то особая точка называется неустойчивым фокусом.

Это возможно, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен

а коэффициент

.

Фазовые траектории для этого случая имеют вид раскручивающихся спиралей и приведены на рисунке 5. Решение уравнения в этом случае дается. Графики зависимости для различных начальных условий приведены на рисунке 6.

Оглавление

Неустойчивый фокус является неустойчивой особой точкой. Как бы близко к началу координат ни начиналась фазовая траектория, она непременно уйдет сколь угодно далеко от начала координат.

Рис. 5 Фазовый портрет неустойчивого фокуса

Рис. 6 Зависимость в случае неустойчивого фокуса

Оглавление

Дата добавления: 2014-01-20