Метод непосредственного использования законов Кирхгофа

План лекции

Методы анализа электрических цепей постоянного тока

1. Метод непосредственного использования законов Кирхгофа

2. Метод узловых потенциалов

3. Метод напряжения между двумя узлами

4. Метод эквивалентных преобразований схем с последовательно-параллельным соединением приемников

5. Метод контурных токов

6. Метод наложения

Анализ резистивных цепей заключается в следующем: даны электрическая цепь и значения всех элементов, требуется рассчитать токи во всех ветвях.

Существует несколько методов расчета параметров электрических цепей. Особенностью этих методов является применимость их не только к цепям постоянного, но и переменного тока, не только к линейным но и нелинейным цепям. Здесь мы рассмотрим применение этих методов к линейным цепям постоянного тока, а особенности их применения в цепях других типов рассмотрим при изучении этих цепей.

Этот метод сводится к решению системы уравнений, количество которых уравнений должно быть минимальным, но достаточным и равным числу неизвестных токов (числу ветвей), т. е. m − m_J, где m – общее число ветвей в схеме; m_J – число ветвей с источниками тока. Направления токов указывают произвольно.

По первому закону Кирхгофа составляют n − 1 уравнение, где n – число узлов схемы. В этих уравнениях учитывают и токи источников тока. При подготовке данных для ввода в ЭВМ известные величины записывают справа от знака равенства. Поэтому первый закон Кирхгофа формулируют следующим образом:

Σ I = Σ J,

где Σ I – алгебраическая сумма неизвестных токов ветвей в узле; Σ J – алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к этому же узлу.

Недостающие уравнения дописывают по второму закону Кирхгофа.

Уравнения по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, не содержащих источников тока.

Порядок расчета:

1. Произвольно выбрать направления всех токов в ветвях на исходной схеме.

2. Определить общее количество уравнений, которые необходимо составить по первому

N_ЗК1 =N_у– 1

и второму

N_ЗК2 =N_в–N_у+1–N_т,

законам Кирхгофа,

где

N_ЗК1 – количество уравнений по первому закону Кирхгофа;

N _у – число узлов;

N _в – число ветвей;

N _т – число источников тока;

N_ЗК2 – количество уравнений по второму закону Кирхгофа.

3. Записать N_ЗК1 уравнений по первому закону Кирхгофа для постоянных токов

где р – число токов в узле;

I_k – ток в ветви k.

Ток I_k пишется со знаком +, если он направлен от узла и – I_k – если к узлу (или все наоборот).

4. Записать N_ЗК2 уравнений по второму закону Кирхгофа для постоянных величин

где m – число ветвей в контуре;

n – число источников ЭДС в контуре;

R_k – общее сопротивление ветви k.

ЭДС пишется со знаком "плюс", если направление обхода выбранного контура совпадает с направлением ЭДС, и "минус", если не совпадает. Падение напряжения R_k×I_k записывают со знаком "плюс", если направление обхода выбранного контура совпадает с направлением тока I_k, и "минус", если не совпадает.

5. Получившуюся систему уравнений решают относительно токов.

Замечание. Следует помнить, что второй закон Кирхгофа в резистивных и только в резистивных цепях справедлив также для действующих, максимальных, амплитудных значений и размахов.

Примечание. При расчете электрических цепей ток рассматривается в алгебраическом смысле, причем положительное направление выбирается произвольно. Если после вычислений получается, например, –5 A, то это означает, что этот ток направлен против выбранного положительного направления. Если ток – положителен, то этот ток течет по ранее выбранному направлению.

Рассмотрим применение метода для схемы рис. 3.1.

Рис. 3.1

Нужно определить все токи, если известны значения J,E ₁, E ₃, R ₁, R ₂, R ₃.

Решение

1. Выявим узлы (а и b) и ветви.

2. Направим токи I ₁, I ₂, I ₃. Ток источника тока уже обозначен и известен.

Определим число расчетных уравнений:

m − m_J = 4 – 1 = 3.

3. Составим (n − 1) = 2 − 1 = 1 уравнение по первому закону Кирхгофа:

J + I ₁ − I ₂ − I ₃ = 0

либо

I ₁ − I ₂ − I ₃ = − J.

4. Дописываем два недостающих уравнения по второму закону Кирхгофа. Рекомендуют составлять уравнения для «главных», не содержащих в себе других контуров. Направление обхода разных контуров может быть разным.

Выберем направление обхода контуров по часовой стрелке. Тогда

U ₁ + U ₂ = E ₁;

− U 2 + U 3 = E 3.

Подставив выражения напряжений по закону Ома, получим следующую систему уравнений:

5. Решением системы находим токи.

Систему уравнений по законам Кирхгофа можно записать в матричной форме следующим образом:

[ a ]⋅[ I ]= [ F ],

Дата добавления: 2014-01-20