Разложение четных и нечетных 2 периодических функций в ряд Фурье

Теорема Дирихле.

Ряды Фурье для 2 периодической функции.

Тема: Ряды Фурье для 2 периодической функции. Теорема Дирихле. Разложение 2 l периодической функции в ряд Фурье.

Лекция 15

Пусть на [a,b] задана система функций

Определение 1. Система функций называется ортогональной на [a,b], если,.

Предварительно докажем, что тригонометрическая система 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…cos nx, sin nx,… ортогональна на отрезке [ ].

1) =0, n = 1,2,…

2) =0, n = 1,2,…

3) =0, n

4) =0

5) =0, n

Вычислим еще следующие интегралы:

= - n = 1,2,…

=.

Пусть дан тригонометрический ряд:

, который сходится к S(x) должна быть 2 – периодической.

Будем предполагать, что равенство (1), умноженное на cosnx или sinnx, можно почленно интегрировать.

В результате получим:

, в силу ортогональности тригонометрической системы.

;,

, n=1,2,…

,,, n=1,2,…

Таким образом, зная сумму тригонометрического ряда, можно найти коэффициенты тригонометрического ряда.

Пусть дана 2 периодическая функция f(x) для которой существуют интегралы:

,,, n=1,2,…

Функции f(x) можно поставить в соответствие тригонометрический ряд:

f (x)

(2)

Ряд (2) называется рядом Фурье функции f(x),

, n=1,2,…,, n=1,2,…

называются коэффициентами ряда Фурье. Предварительно дадим два определения.

Определение 2. Функция f(x) называется кусочно - непрерывной на отрезке, если данный отрезок можно разбить на конечное число интервалов, на каждом из которых функция является непрерывной.

Определение 3. Функция f(x) называется кусочно - монотонной на отрезке, если отрезок можно разбить на конечное число интервалов, на каждом из которых функция не убывает либо не возрастает.

Если 2 периодическая функция на отрезке кусочно –непрерывна, кусочно- монотонна и ограничена, то она разлагается в ряд Фурье, который в точках непрерывности сходится к значению функции, а в точках разрыва первого рода сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа, т.е..

1) f(x) - четная функция, тогда

, n=0,1,2,…, т.к. подынтегральная функция является четной

=0, n=1,2,… т.к. f(x)Sinnx нечетная функция.

f(x).

1) f(x)- нечетная функция, тогда

, n=0,1,2,…,т.к f(x) Cosnx- нечетная функция.

=

f(x).

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x,

Решение. Данная функция в промежутке) монотонна, непрерывна и ограничена. Следовательно, по теореме Дирихле она разлагается в ряд Фурье, который в точках непрерывности сходится к f(x), а в точках разрыва первого рода сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа. Функцию f(x) периодически продолжаем с периодом 2. Ряд Фурье в точках x= (2k+1), которые являются точками разрыва 1 го рода, сходится к нулю.

Так как данная функция нечетная, то, n= 0,1,2,…

= | +

d v =Sinnxdx, v = -

=

f(x)= 2.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)= |x|,

Решение. Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле, поэтому она разлагается в ряд Фурье.

Функцию f(x) периодически продолжаем с периодом 2.

Ряд Фурье в точках разрыва 1 го рода х= (2к+1) сходится к. Так как функция f(x) четная, то n= 1,2,… При вычислении надо вычислить отдельно.

= |,

d v = cosnx dx, v =

= -1)=

f(x)=.

Дата добавления: 2014-01-20