Принцип сжимающих отображений

Определение метрического пространства

Лекция №9. Элементы теории метрических пространств

Потребности науки и техники потребовали изучения значительно более общего понятия пространства по сравнению с эвклидовым пространством. Ниже мы рассмотрим основные понятия теории метрических пространств, то есть множеств, состоящих из элементов произвольной природы, на которое накладывается только одно требование: должно быть определено понятие расстояния между его элементами, удовлетворяющее некоторым условиям.

Определение. Метрическим пространством называется всякое множество элементов произвольной природы вместе с однозначной, неотрицательной, действительной функцией, определенной для любых элементовииз, удовлетворяющих следующим трем условиям:

1. тогда и только тогда, когда;

2. аксиома симметрии;

3. для любых трех элементов выполняется неравенство аксиома треугольника.

Определение. Элементы и метрического пространства называют точками, функцию– расстоянием между точкамии, а само метрическое пространство, т.е. паруобозначают одной буквой.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Множество действительных чисел с расстоянием

образует метрическое пространство, а также пространство являются полными.

Вопрос о существовании и единственности решений алгебраических, трансцендентных, дифференциальных и других типов уравнений можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Одним из критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях является так называемый принцип сжимающих отображений.

Отображение метрического пространства в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число, что для любых двух точек и пространства выполняется неравенство

Точка называется неподвижной точкой отображения, если выполняется равенство

Можно показать, что имеет место следующее утверждение.

Теорема (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве, имеет одну и только одну неподвижную точку.

Принцип сжимающих отображений можно использовать для доказательства существования и единственности решений для уравнений различных типов. Следует отметить, что принцип сжимающих отображений позволяет не только доказать существование и единственность решения, но и дает метод нахождения приближенного решения. Этот метод называют методом итераций или методом последовательных приближений.

Рассмотрим применение этого метода к отысканию приближенного решения уравнения

(9.1)

где функция определена на промежутке и удовлетворяет условию Липшица

(9.2)

с константой и отображает промежуток в себя.

В этом случае есть сжимающее отображение и, согласно сформулированной выше теореме последовательность чисел

сходится к единственному корню уравнения (9.1).

Если функция имеет на промежутке производную (9.3)

где – некоторая постоянная, то легко видеть, что условие сжатости (9.2) выполнено.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. На промежутке найти действительный корень уравнения

Записав данное уравнение в виде (9.1), получим

Легко проверяется, что производная на промежутке принимает только отрицательные значения, но условие (9.2) по-прежнему выполняется. Используя метод итераций и положив вначале уже на 10-том шаге получим.

Таким образом, корнем исходного уравнения является.

Геометрически метод итераций можно пояснить следующим образом. Построим на плоскости графики функций и. Каждый вещественный корень уравнения (9.1) является абсциссой точки пересечения кривой с прямой (рис.3).

Рис.3

Отправляясь от некоторой точки, построим ломаную линию («Лестница»), звенья которой попеременно параллельны оси и оси, так что вершины лежат на кривой, а вершины на прямой. Общие абсциссы точек и, и, и … представляют собой последовательные приближения к корню.

Рис.4

Возможен также (рис.4) другой вид ломаной («Спираль»). Легко заметить, что решение в виде «лестницы» получается, если производная отрицательна.

Если (9.4)

где и – некоторые постоянные. Введем в рассмотрение функцию

где – некоторая постоянная и заметим, что решение уравнения равносильно решению уравнения.

Так, то, используя (9.4) будем иметь

и заметим, что на промежутке выполняется неравенство

Дата добавления: 2014-01-20