Произведение матриц

Лекция 11

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ

Определение. Матрица размера , с элементами , называется произведением матрицы размера , с элементами ) на матрицу размера , с элементами ), где

Замечания о произведении матриц

Из определения произведения матриц непосредственно следует, что для матриц подходящих размеров:

1) произведение матриц некоммутативно, то есть в общем случае

,

2) произведение матриц ассоциативно

,

3) произведение матриц обладает свойством дистрибутивности

.

Отметим еще раз, что произведение двух матриц существует только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго.

Легко убедиться, что умножение (как справа, так и слева) любой матрицы на подходящего размера единичную матрицу дает в результате ту же самую матрицу .

Определение. Матрица называется обратной квадратной матрице , если выполнены равенства .

Обратная матрица существует не для всякой произвольной квадратной матрицы. Для существования матрицы, обратной к , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие .

Определение. Матрица , для которой , называется вырожденной, а матрица, для которой , – невырожденной.

Лемма 10.1 Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство.

Предположим, что невырожденная матрица имеет две обратные: и . Тогда из равенств и следует, что

.

Умножая слева обе части данного равенства на , получаем

и, учтя, что , приходим к равенству

.

Лемма доказана.

Для квадратных матриц порядка справедливы следующие равенства:

если .

Пример 1. Используя матричные операции, систему линейных уравнений

можно записать в виде

,

где

,

а ее решение (если существует ) – в виде

.

Пример 2. Формулы перехода от одной декартовой системы координат к другой с помощью матричных операций могут быть записаны в виде

, и пусть S – матрица перехода от к с формулами перехода

.

Подставляя два последних соотношения в первое и принимая во внимание утверждение о невырожденности матрицы перехода S (то есть существование матрицы ), получаем, что

или

Откуда и следует, что

Дата добавления: 2014-01-20