Теорема (о линейности изображения)

Изображение суммы нескольких функций, умноженных на постоянные, равно сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные, т.е. если

,

где – произвольные комплексные числа и для , а , то

.

Или, .

Доказательство.

Справедливость теоремы вытекает из свойства линейности интеграла, определяющего изображение.

Умножим обе части равенства на , получим

.

Вычислим несобственный интеграл в пределах от 0 до ¥:

, что и т.д.

На основании этого свойства, получаем

,

таким образом .

Аналогично находим, что .

Рассмотрим гиперболическую функцию

,

таким образом, .

Аналогично находим, что .

Таблица изображений основных элементарных функций

Дата добавления: 2014-01-20