КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теорема умова-пойнтинга для мгновенных значений
Кроме уравнений Максвелла, большое значение в теории электромагнитного поля имеет теорема Умова-Пойнтинга. Она описывает энергетические соотношения в поле. Теорема Умова-Пойнтинга имеет две формы записи первая – для мгновенных значений, вторая – комплексная форма – для синусоидально изменяющихся величин. Известно, что энергия электрического поля в единице объема равна . Энергия магнитного поля в единице объема – . Энергия в объеме равна
.
Для того чтобы образовать выражение, в которое вошла бы полная энергия в объеме , умножим (1) на , а (2) на . Получим:
; (9)
. (10)
Из (5) вычтем (6): . (11)
Так как , то левая часть (11) есть – . Следовательно,
.
Обозначим для сокращения записи векторное произведение на через , т.е. примем, что ; - это вектор, называемый вектором Пойнтинга; его единица измерения равна произведению размерностей Е и Н, т.е. . Таким образом, вектор Пойнтинга имеет размерность мощности (или энергии в единицу времени), отнесенной к единице поверхности, и направление его (рисунок 1) совпадает с направлением движения острия правого винта, если головку последнего вращать по кратчайшему направлению от на . Итак,
. (12)
Рисунок 1
Распространим (12) на некоторый объем конечных размеров. С этой целью проинтегрируем (12) по объему V: . (13)
Подобно тому, как поверхностный интеграл по теореме Стокса преобразовывается в линейный (), объемный интеграл в свою очередь может быть преобразован в поверхностный. Это преобразование осуществляют с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:
.
Теорему Умова-Пойнтинга для мгновенных значений записывают следующим образом:
. (14)
Левая часть (14) представляет собой поток вектора Пойнтинга (направленный внутрь объема) сквозь любую замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый объем V. В соответствии с уравнением Джоуля-Ленца в дифференциальной форме есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единице объема в единицу времени. Поэтому есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единицу времени в объеме V; есть скорость изменения запаса электромагнитной энергии в единице объема. Но скорость изменения электромагнитной энергии есть мощность. Следовательно, поток вектора Пойнтинга сквозь любую замкнутую поверхность, ограничивающую объем V, равен мощности, выделяющейся в объеме V в виде теплоты, и мощности, идущей на приращение энергии электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойнтинга следует трактовать как уравнение энергетического баланса; левая часть (14) есть мощность или энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока вектора Пойнтинга внутрь некоторого объема; правая часть (14) есть энергия, расходуемая в единицу времени внутри объема. Соотношение (14) было получено в предположении, что среда внутри однородна и изотропна, а также в предположении, что отсутствует отраженная волна и внутри объема нет источников электродвижущей силы. Если поле не изменяется во времени, то
и .
Электромагнитная энергия от места ее генерирования передается к месту потребления по диэлектрику (провода же в линиях передачи выполняют двоякую роль: они являются каналами, по которым проходит ток, и организаторами структуры поля в диэлектрике). Покажем справедливость этого утверждения на простейшем примере. Пусть энергия постоянного тока передается по коаксиальному кабелю (рисунок 2). Радиус жилы , внутренний радиус оболочки . Примем проводимость материала жилы и оболочки настолько большой (теоретически бесконечно большой), что напряженности поля в жиле и оболочке стремятся к нулю. Пространство между жилой и оболочкой заполнено диэлектриком.
Рисунок 2
Убедимся, что энергия, передаваемая приемнику в единицу времени, равная , действительно канализируется по диэлектрику. С этой целью подсчитаем поток вектора Пойнтинга через поперечное сечение диэлектрика, в рассматриваемом примере представляющее собой кольцо с внутренним радиусом и наружным . Напряженность магнитного поля в диэлектрике, по закону полного тока
.
Напряженность электрического поля в диэлектрике при постоянном токе определяется так же, как и в условиях электростатики:
,
где Q – полный заряд жилы на длине ; U – напряжение между жилой и оболочкой. Следовательно, в некоторой точке диэлектрика, расположенной на расстоянии r от оси (),
(и взаимно перпендикулярны; рисунок 2). Поток вектора Пойнтинга через кольцо с радиусами и :
.
Таким образом, вся поступающая к приемнику энергия действительно передается по диэлектрику. По жиле и оболочке энергия к приемнику не передается. Более того, если учесть, что γ конечна и напряженность электрического поля в жиле и оболочке направлена по току и не равна нулю, то нетрудно убедиться в наличии потока вектора Пойнтинга через боковую поверхность провода внутрь провода, т.е. провода сами потребляют из диэлектрика энергию на покрытие тепловых потерь.
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 2085; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |