Исключение гетероскедастичности с помощью ОМНК

Предположим, что выполняется требование равенства математического ожидания регрессионного остатка нулю. Тогда дисперсия регрессионных остатков равна просто ожидаемому квадрату остатка:
σ²(ε) = M(ε – M(ε))² = M(ε²); σ²(ε_i) = M(ε_i²).

Предположим, что требование отсутствия автокорреляции остатков тоже выполняется. Тогда ковариационная матрица остатков (2.15) примет вид диагональной матрицы (ненулевые элементы стоят только на главной диагонали):

(2.17)

Пусть остатки гетероскедастичны, т.е. элементы на главной диагонали матрицы (2.17) не равны между собой. Применение ОМНК по формуле (2.16) с такой ковариационной матрицей сведется к тому, что в каждом i–м наблюдении все значения переменных будут поделены на одно и то же число σ²(ε_i). Такая модификация ОМНК называется взвешенным МНК.

Однако в реальных экономических задачах дисперсии регрессионных остатков для отдельных наблюдений неизвестны, и нет возможности построить ни матрицу (2.15), ни матрицу (2.16). Поэтому вместо этих матриц обычно используют какую-либо их оценку.

Для определения коэффициентов при использовании взвешенного МНК может быть использован следующий подход. Предположим, что дисперсии остатков σ²(ε_i) пропорциональны величине σ²(ε) (дисперсии генеральной совокупности значений случайной компоненты). Коэффициенты пропорциональности обозначим К_i, - эти коэффициенты характеризуют неоднородность дисперсии (способ их нахождения обсудим позже). Получим для каждого из n наблюдений:

(2.18)

σ²(ε_i) = σ²(ε) * К_i

В основе применения МНК к линеаризованной функции лежит соотношение (2.1) (на примере парной линейной регрессии), которое может быть представлено следующим образом: . Если в левой части этого выражения каждое слагаемое в скобках разделить на , то в результате каждое слагаемое в правой части будет скорректировано на величину К_i. Поскольку из формулы (2.19) σ²(ε_i)/К_i = σ²(ε), можно условно считать, что после такого преобразования данные будут гомоскедастичны, т.е. иметь общую дисперсию σ²(ε).

Итак, чтобы применить к парной линейной регрессии ОМНК в случае гетероскедастичности остатков, необходимо обе части уравнения y = ax + b разделить на для всех наблюдений:

(2.19)

Чтобы это сделать, исходные данные модели – значения x_i и y_i, делят на . Одновременно осуществляют замену переменных

(2.20)

Значения новых переменных γ и α представляют собой значения показателей, взвешенные на коэффициенты . В общем случае эти веса надо задать для каждого наблюдения (каждой пары γ_i и α_i).

После такой замены уравнение регрессии примет вид

(2.21)

Полученное выражение представляет собой уравнение множественной (двухфакторной) линейной регрессии, в которой результативный признак обозначен γ, а признаки-факторы - α и β. Параметры регрессии a и b можно найти из системы нормальных уравнений (2.3). В данном случае первое уравнение в системе (2.3) следует опустить, так как свободный член регрессии (2.21) равен нулю (здесь оба параметра - a и b - представляют собой коэффициенты при переменных). Система примет вид:

(2.22)

где

Каким образом определяются коэффициенты К_i? Существуют различные подходы к их определению, и выбор любого из них неизбежно влияет на значение полученных параметров модели.

Иногда предполагают, что этими коэффициентами являются сами значения фактора. В многофакторной модели при этом одновременно встает проблема выбора одного из факторов (того, значения которого будут использованы при расчете весов). Например, можно взять последний по порядку фактор в множественной регрессии.

Следует отметить, что при этом, чем меньше значение фактора, тем на меньшую величину будет поделена величина дисперсии, т.е. весовой коэффициент будет больше. Тем самым повышаются веса дисперсий ошибок в наблюдениях с меньшими значениями. Это говорит о том, что предположение о пропорциональности между коэффициентами К_i и значениями фактора может быть вполне обосновано с экономической точки зрения: большим значениям фактора действительно может соответствовать большая дисперсия, которую необходимо умножить на меньший вес, чтобы добиться гомоскедастичности.

Дата добавления: 2014-01-11