Виды зависимостей для нелинейных уравнений регрессии

Нелинейное уравнение регрессии

Основные виды спецификаций нелинейных уравнений регрессии

Нелинейные модели регрессии

Рассмотрим регрессионную модель y = f(x₁, x₂, …, x_m) + ε (y – результативный признак; f(x₁, x₂, …, x_m) – уравнение регрессии; x₁, x₂, …, x_m – признаки-факторы; m – число таких факторов; ε – регрессионный остаток).

Если функция f(x₁, x₂, …, x_m) является нелинейной, то в модели используется нелинейное уравнение регрессии.

Нелинейная регрессия, как и линейная, может быть множественной (если в модели более одного факторного признака) либо парной, т.е. иметь вид y = f(x) + ε.

Обычно в нелинейных регрессионных моделях используются следующие функции:

1) полиномы различных степеней, начиная со второй, т.е.

а) квадратическая функция

· y = ax² + bx + c – для парной регрессии

· y = a₁x₁² + a₂x₂² + cx₁x₂ + b₁x₁ + b₂x₂ + d - для двухфакторной регрессии

· и т.д.

График для парной регрессии (рисунок 4.1) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0. Соответственно квадратическая функция имеет либо минимум, либо максимум в точке x = -b/2a. При a = 0 функция становится линейной (график – прямая).

График пересекает вертикальную ось в значении c (при x = 0 у = c).

Отметим, что график производной результата для этой функции линеен (поскольку производная квадратичной функции является линейной функцией у` = 2ax + b). Для линейной функции приросты постоянны (производная – константа у` = b).

С помощью этой функции удобно моделировать зависимость, при которой c ростом фактора x до x = -b/2a происходит замедленное снижение результата, а после этого – ускоренный рост (если график имеет минимум). Если он имеет максимум, то до этого момента происходит замедленный рост, а потом – ускоренное снижение.

б) кубическая функция

· y = y = ax³ + bx² + cx + d – для парной регрессии

· y = a₁x₁³ + a₂x₂³ + a₃x₁²x₂ + a₄x₁x₂² + b₁x₁² + b₂x₂² + b₃x₁x₂ + c₁x₁ +
+ c₂x₂ + d - для двухфакторной регрессии

· и т.д.

График для парной регрессии представляет собой кубическую параболу (рисунок 4.2).

График производной представляет собой квадратическую параболу (поскольку у` = 3ax² + 2bx + c), ветви которой направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0). График второй производной – линеен.

Отметим, что график кубической функции имеет точку перегиба – переход от ускоренного снижения к замедленному. Это происходит в тот момент, когда вторая производная становится равна нулю (x = -b/3a).

В прогнозировании могут быть также использованы полиномы более высоких степеней, которые

в) и др. (полиномы 4-й, 5-й степени и т.д.) Они позволяют моделировать максимумы и минимумы для различных значений фактора, а также разнообразные другие изменения в характере зависимости.

2) степенная функция y = ax^b_, b > 0.

· y = ax^b_, b > 0 – для парной регрессии

· - для множественной регрессии

График этой функции для парной регрессии при a > 0 представлен на рисунке 4.3.

3) обратная функция[1] (гиперболическая функция) у = a/x + b

График представляет собой гиперболу (рисунок 4.4).

График функции имеет две асимптоты: горизонтальную у = b (результативный признак никогда не примет это значение, но может только бесконечно к нему приближаться; это значение называют уровнем насыщения результативного признака) и вертикальную x = 0 (график никогда не пересечет вертикальную ось).

Если a > 0, то с помощью такой функции удобно моделировать процесс замедленного снижения результата с ростом фактора (по мере приближения к уровню b результат убывает все медленнее), а если a < 0, то замедленного роста и приближения к b (при этом для x = -b/а значение результативного признака нулевое у = 0).

4) показательная (экспоненциальная) функция у = aе^bx

График представлен на рисунке 4.5.

При b > 0 функция моделирует процесс ускоренного роста, причем при x = 0 значение результативного признака равно а. При b < 0 имеет место замедленное снижение и горизонтальная асимптота у = 0 (т.е. результативный признак никогда не уменьшится до нуля). Для отрицательных a использование этой функции не целесообразно, т.к. график будет лежать ниже горизонтальной оси (только отрицательные значения результативного признака).

5) простая модифицированная экспонента у = k - aе^bx

Представляет интерес, если b < 0, т.к. позволяет моделировать уровень насыщения k (рисунок 4.6).

При а < 0 функция замедленно убывает, приближаясь к значению k, а при а > 0 – замедленно возрастает, также приближаясь к k. При x = 0 значение результативного признака равно k - а.

6) логистическая кривая у = k / (1 - aе^bx), а < 0, b < 0

Эту функцию лучше выбрать для моделирования результативного признака, если он имеет уровень насыщения k, причем при достижении половины этого уровня происходит переход от ускоренного роста к замедленному. При этом график функции симметричен относительно точки перегиба (рисунок 4.7).

7) функция Гомпертца у = k

Обычно используется при а < 1, b < 1.Здесь результативный признак также имеет уровень насыщения k, но график симметричным не является (рисунок 4.8), - переход от ускоренного роста к замедленному происходит несколько раньше, при достижении уровня k/e (примерно k/2,718).

Дата добавления: 2014-01-11