Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация

Алгоритм построения модели временного ряда на примере аддитивной и мультипликативной моделей

Алгоритм построения модели временного ряда, включающего циклические колебания, состоит из основных этапов, содержание которых несколько отличается для аддитивной и мультипликативной моделей.

Упростим модель, введя одно обозначение для циклической составляющей ряда, независимо от длительности цикла, или от ее сезонной или конъюнктурной природы. Обозначим ее s_t. Тогда аддитивная модель примет вид y_t = u_t + s_t + e_t, а мультипликативная - y_t = u_t * s_t * e_t.

Итак, основные этапы построения модели:

1) Сглаживание исходного ряда на основе средних, которые рассчитываются за промежуток времени, соответствующий длительности цикла.

2) Определение значений циклической или сезонной компоненты (более подробно см. Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др. Эконометрика: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2001. – С. 242-251). Для аддитивной модели сумма значений этой компоненты за все периоды одного цикла должна равняться нулю, а в мультипликативной модели – числу периодов в цикле. За счет этого обеспечивается взаимопогашаемость циклической компоненты.

3) Устранение из модели циклических компонент. В аддитивной модели оно осуществляется путем вычитания, после чего модель примет вид y_t = u_t + e_t. В мультипликативной модели оно осуществляется путем деления, после чего модель примет вид y_t = u_t * e _t.

4) Аналитическое выравнивание полученного ряда y_t = u_t + e_t или y_t = u_t * e _t на основе построения уравнения тренда y_t = f(t).

5) К полученным уровням ряда прибавляют циклическую компоненту (в случае аддитивной модели) или умножают их на нее (в случае мультипликативной модели): y_t = f(t) + s_t или y_t = f(t) * s_t.

6) Сравнение расчетных значений уровней ряда, полученных с помощью построенной модели, с фактическими значениями. Оценка полученной модели, расчет ошибок.

Временные ряды имеют стохастическую природу и, соответственно, для них могут быть рассчитаны различные вероятностные характеристики.

Стационарный временной ряд – это временной ряд, для которого все вероятностные характеристики постоянны.

Это означает, что какой бы фрагмент временного ряда мы не взяли, вероятностные характеристики значений показателя будут такими же, как и для любого другого временного промежутка этого ряда. Трендовая компонента в стационарном ряду отсутствует.

Нестационарный временной ряд этим свойством не обладает.

Наглядно стационарный и нестационарный временные ряды представлены на рисунке 5.1.

Различают понятия слабой и строгой стационарности. Чтобы считать ряд слабо стационарным, или стационарным в широком смысле слова, достаточно, чтобы он имел постоянные математическое ожидание, дисперсию и коэффициенты автокорреляции. Для более строгого определения стационарности необходимо постоянство и других вероятностных характеристик (функция распределения должна быть одинаковой), которые подробно изучаются в курсе теории вероятностей.

Следует помнить, что любой строго стационарный ряд является и слабо стационарным, но не наоборот. Таким образом, пересечение (общая часть) множества слабо стационарных рядов и множества строго стационарных рядов представляет собой множество строго стационарных рядов. Объединение множества слабо стационарных рядов и множества строго стационарных рядов – множество слабо стационарных рядов (потому что строго стационарные ряды входят в слабо стационарные).

Примером стационарного временного ряда может быть «белый шум» в регрессионных моделях (т.е. упорядоченные во времени значения случайной компоненты, для которых математическое ожидание и дисперсия постоянны (в этом случае ожидаемое значение остатка равно нулю), и эти значения некоррелированы друг с другом).

Эргодические ряды. Важным свойством некоторых стационарных рядов является свойство эргодичности. Суть этого свойства заключается в том, что для эргодического ряда математическое ожидание его уровней в пространстве совпадает с математическим ожиданием его уровней во времени.

Пусть для слабо стационарного процесса в любой момент времени t математическое ожидание значения М(y_t) = µ (это математическое ожидание в пространстве). Математическое ожидание во времени представляет собой среднее из n значений временного ряда при n ® ¥. Если , то такой ряд – эргодический.

Иными словами, для стационарного временного ряда среднее значение по множеству реализаций для заданных моментов времени равно среднему по времени, вычисленному по одной реализации.

Дата добавления: 2014-01-11