Собственные полиномы жордановых клеток

..

..

Поскольку , L-инвариант оператора имеет вид

.

Инвариант цикла имеет вид .

Пример 5. Цикл вычисления последовательности Фибоначчи, начиная с пары .

(x,y):= (a,b);

While True|False do (x, y):= (x + y, x)

Вычислим собственные значения и собственные векторы оператора :

. .

Поскольку , L-инвариант оператора имеет вид

.

Инвариантное соотношение цикла имеет вид .

Следствие 2. Если характеристический (минимальный) многочлен линейного оператора имеет вид , линейный оператор обладает L -инвариантами.

Доказательство. Корни характеристического многочлена определены формулой , где - первообразный корень степени из 1. Легко видеть, что если - целые числа такие, что , то - некоторая степень . В самом деле,

,

где . Поэтому произведение в подходящей степени равно 1.

Итак, L-инварианты оператора существуют и вычисляется аналогично тому, как это сделано в примере 3. В частности, L-инвариантами оператора являются рациональные выражения

,

где - собственные векторы , а - наименьшие натуральные числа такие, что кратно : .

Предложение 3. Пусть - многочлен от переменной с рациональными коэффициентами и - все его корни из алгебраического замыкания поля . Рассмотрим множество - множество мономов из поля рациональных выражений (возможно, с отрицательными степенями), которые при подстановке вместо получают значение 1. Тогда - мультипликативная абелева группа с конечным числом образующих.

Доказательство. Каждому моному поставим в соответствие бином кольца следующим образом: моном представим в виде дроби , в числителе которой запишем степени переменных с положительными показателями, а в знаменателе – степени переменных с отрицательными показателями, взятыми со знаком «минус»: .

Группа , очевидно, может быть определена и множеством выше определенных биномов: . Во множестве биномов можно выделить конечное подмножество , которое образует базис идеала кольца , порожденного множеством : . Построим базис Гребнера этого идеала, опираясь на базис . Легко видеть, что S-полином пары биномов также является биномом. Кроме того, редукция бинома заключается в замене на . Поэтому процесс построения базиса Гребнера приводит к конечному множеству биномов, которое мы будем обозначать через Каждый элемент , в свою очередь, определяет моном рассматриваемого нами вида. Обозначим множество таких мономов через . Осталось показать, что образует множество, порождающее группу .

Пусть , . Обозначим через биномы из – элементы базиса Гребнера. (Обозначения переменных в формулах мы опускаем.) Поскольку - базис Гребнера, бином редуцируется к нулю с помощью элементов «исчерпыванием». Это означает, что на каждом шаге редуцирования существует такой номер базисного элемента, что . Шаг редуцирования исчерпыванием состоит в следующем преобразовании: . Этому преобразованию поставим в соответствие следующее преобразование монома - элемента:

Таким образом, шаг редуцирования применительно к элементам состоит в выделении в мономе сомножителя . Редуцированный бином, если это необходимо, следует переупорядочить так, чтобы первый его моном был больше второго. Это преобразование состоит в следующем: . Понятно, что после этого преобразования в мономе выделяются сомножители знаменателя: . Итак, мы показали, что процесс редуцирования исчерпыванием соответствует процессу разложения монома в произведение базисных мономов (возможно, с отрицательными показателями). Теорема доказана.

Пример 6 (Продолжение примера 3). Легко видеть, что для многочлена имеют место следующие мультипликативные соотношения между его корнями:

Этим соотношениям соответствуют биномы

,

которые образуют базис Гребнера идеала .

Следствие 1. Пусть - многочлен от переменной с рациональными коэффициентами и - все его корни из алгебраического замыкания поля . Рассмотрим множество - множество мономов из поля рациональных выражений (возможно, с отрицательными степенями), которые при подстановке вместо получают рациональные значения. Тогда - мультипликативная абелева группа с конечным числом образующих.

Доказательство по существу повторяет доказательство предложения 3. Вместо биномов вида следует рассматривать биномы вида . Более того, вместо поля можно рассматривать любую мультипликативную подгруппу .

Следствие 2. Множество всех L-инвариантов оператора образует поле рациональных выражений.

Доказательство очевидно. Поле L-инвариантов оператора , порожденное элементами , имеет конечное число образующих – элементов .

Проблему описания всех L -инвариантов линейного оператора можно теперь уточнить как проблему построения конечного множества образующих группы .

Определение 3. L-инварианты оператора , определенные мультипликативным соотношением между корнями характеристического многочлена , будем называть целыми. L-инварианты оператора , определенные мультипликативным соотношением , будем называть рациональными.

Предложение 5. Если характеристический многочлена оператора имеет вид , оператор обладает рациональными L-инвариантами.

Доказательство. Пусть - корни многочлена . Тогда . Каждый из сомножителей вида определяет рациональные L-инварианты, которые вычисляются аналогично тому, как это сделано в следствии 2 предложения 2.

III. Нелинейные инварианты линейных циклов и собственные полиномы линейных операторов

В общем случае невырожденный линейный оператор в подходящем базисе может быть представлен матрицей - жордановой формой [12, 13].

, (4)

где - жордановы клетки разных размеров. Жорданова клетка имеет вид

(5)

Таким образом, теорема 2 относится только к тем строкам матрицы линейного оператора , которые соответствуют собственным векторам , т.е. к совокупности последних строк жордановых клеток , . Ниже мы распространим эту теорему на произвольные невырожденные линейные операторы, введя в рассмотрение жордановы клетки в целом.

Для анализа линейных циклов линейный оператор следует рассматривать как линейное преобразование переменных линейного пространства однородных полиномов некоторой степени . Преобразование определяет линейное преобразование пространства в себя (гомоморфизм) . Для оно задано формулой

.

Определение 3. Полином называется собственным полиномом линейного оператора с собственным числом , если - собственный вектор , т.е. . Таким образом, собственный полином определяется формулой

. (6)

Замечание 2. Понятия собственного многочлена и L-инварианта линейного оператора – некоторые аналоги понятий основных понятий геометрической теории инвариантов – а именно, понятий относительного и абсолютного инвариантов группы преобразований векторного пространства в том случае, когда эта группа определена как циклическая c образующим элементом : [15].

Пример 1. Пусть - собственный вектор оператора и - его собственное значение. Тогда - собственный полином оператора с собственным числом .

Предположим, что линейный оператор состоит из одной жордановой клетки вида (5), которую обозначим через . Если размеры клетки и ее собственное значение в данном контексте не играют роли, их обозначения мы будем игнорировать, обозначая оператор через . Приведем решение задачи построения всех собственных полиномов жордановой клетки .

Теорема. Не существует собственных полиномов от двух переменных .

Доказательство. для любого .

Рассмотрим однородные многочлены степени от переменных . Пусть - последовательность подпространств, определенная в (8).

Теорема 3. Существует система многочленов , , ,…, степени и многочлен степени такие, что многочлен

(9)

является собственным многочленом оператора .

Пример 2. П оследовательность собственных полиномов жордановой клетки в пространстве .

, .

, .

, .

, .

Теорема 4. Для жордановой клетки существует набор , состоящий из собственного полинома вида (9): ,

…, .

Любой собственный полином жордановой клетки можно представить в виде

. (15)

где - многочлен от переменной с коэффициентами из .

Замечание 2. Отметим, что формулы (16) по существу определяют изоморфное отображение векторного пространства однородных полиномов степени в векторное пространство собственных полиномов , элементы которого имеют вид , где - взвешенно-однородный полином с весами переменных

.

Система образующих пространства состоит из собственных полиномов и переменной :

.

В системе образующих матрица оператора имеет вид

.

Дата добавления: 2014-01-20