Дифракция Фраунгофера на одной щели

Лекция 14 Дифракция Фраунгофера

1 Дифракция Фраунгофера на одной щели

2 Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

3 Дифракция света на пространственных решетках

4 Дифракционная структура изображения. Разрешающая способность оптических систем

Дифракция Фраунгофера наблюдается в параллельных лучах. При этом дифракционная картина расположена на бесконечном удалении от объекта, обусловившего дифракцию волн. Если отверстие в непрозрачном экране осветить пучком параллельных лучей, то дифракционную картину Фраунгофера можно наблюдать в фокальной плоскости объектива, установленного за этим отверстием (рисунок 14.1).

Пусть пучок параллельных лучей (плоская волна) падает на отверстие в непрозрачном экране (щель, прямоугольник, круг и т.д.). Линза (рисунок 14.1) собирает в различных участках своей главной фокальной плоскости все лучи, прошедшие через отверстие и упавшие на линзу, в том числе и лучи, отклонившиеся от первоначального направления в результате дифракции. Исследуя распределение освещенности на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы , можно обнаружить дифракционную картину, образующуюся вследствие интерференции вторичных волн, распространяющихся от каждого элемента, выделенного в окне отверстия и являющегося, таким образом, вторичным источником.

Рассчитаем дифракционную картину, которая формируется вследствие дифракции плоской волны на одиночной щели.

Пусть плоская волна падает нормально к плоскости щели (рисунок 14.2). Мысленно разделим створ щели на ряд одинаковых узких параллельных друг другу полосок, каждую из которых можно рассматривать как источник волн. Фазы этих волн одинаковы, амплитуды – тоже, так как выделенные элементы наклонены под одинакоым углом к направлению наблюдения.

Для аналитического расчета интенсивности волн в различных направлениях за щелью, напишем выражение для волны, посылаемой каждым элементом волнового фронта, и просуммируем действие всех элементов.

Амплитуда волны, посылаемой элементом шириной dx, пропорциональна его ширине:

A = Cdx.

Множитель С определим, учитывая, что при φ = 0 амплитуда волны равна А₀:

Cb = A₀, C = A₀ / b.

Таким образом, возмущение ds, обусловленное в точке B_φ элементом dx, представим в виде:

Учтем разность фаз для волн, доходящих до точки наблюдения от различных участков волнового фронта. Проведем плоскость FD перпендикулярно направлению дифракции. Нужно определить оптическую разность хода на пути от плоскости FE до плоскости FD.

Так как

(14.1)

где – волновое число.

Результирующее возмущение в точке B_φ определим, интегрируя выражение (14.1) по x в пределах ширины щели:

(14.2)

так как

.

Часто (при дифракции на небольшие углы) можно считать, что . При этом амплитуда A_φ равна нулю при выполнении условия

.

(14.3)

Последним выражением определяется положение дифракционных минимумов.Первый минимум можно наблюдать под углом, удовлетворяющим условию .

Положение дифракционных максимумов можно определить, находя максимумы функции

(14.4)

где I₀= A₀².

В частности, максимум нулевого порядка наблюдается при

Максимумы первого, второго,третьего, четвертого и др. порядков наблюдаются соответственно при выполнении условий

и т.д.

Интенсивность света вдоль экрана изменяется.

Дифракционная картина имеет вид чередующихся темных и светлых полос. Эти полосы расположены симметрично по обе стороны от более широкого и более яркого центрального максимума. Интенсивность дифракционных полос распределяется по полю дифракционной картины неравномерно. С увеличением угла дифракции интенсивность волн в максимумах быстро уменьшается: (рисунок 14.3).

.

Положение дифракционных минимумов и максимумов зависит от длины волны излучения во всех порядках дифракции, кроме нулевого порядка.

Обычно на практике имеют дело не со строго монохроматической волной. При прохождении немонохроматического света максимумы и минимумы для волн различной длины смещены друг относительно друга (за исключением центрального максимума). При этом, чем больше длина волны, тем больше смещение максимумов и минимумов относительно центра картины. Положения максимумов нулевого порядка совпадают при всех значениях длин волн. При наблюдениях в белом свете в центре картины наблюдают белую полосу, максимумы других порядков окрашены. Однако при дифракции на одной щели картина расплывчата, и отчетливое разделение полос для различных длин волн наблюдать не удается.

В опытах по дифракции света обычно используют щели, ширина которых . Следовательно, угол дифракции, соответствующий первому минимуму . Чем меньше ширина щели, тем шире центральный максимум. При он расплывается, так как при этом , то есть ; дальнейшее уменьшение ширины щели не имеет смысла. При получают в центре резкое изображение источника, то есть имеет место прямолинейное распространение света. Таким образом, последнее условие – критерий для перехода к геометрической оптике.

Если щель широкая, то изображение источника получается геометрически подобным источнику. При уменьшении ширины щели наблюдаемая дифракционная картина почти ничем не отличается от картины, полученной при использовании точечного источника.

Таким образом, чем ýже щель, тем меньше сказываются размеры источника на распределении освещенности в дифракционной картине.

Важное практическое значение имеет дифракция света на круглом отверстии, так как в оптических приборах все оправы линз и объективов обычно имеют круглую форму. Поэтому при разработке и эксплуатации многих оптических приборов (зрительных труб, микроскопов, фотообъективов и других систем) обязательно приходится учитывать явление дифракции на круглом отверстии.

Дифракция плоских световых волн на круглом отверстии качественно не отличается от соответствующей дифракции Френеля сферических волн. Дифракционная картина, наблюдаемая от точечного источника монохроматического излучения в фокальной плоскости объектива, представляет собой центральное яркое пятно, окруженное рядом чередующихся темных и светлых концентрических колец. Интенсивность светлых колец от центра к периферии быстро уменьшается. Практически невооруженным глазом можно увидеть только одно – два первых кольца. Такая картина дифракции типична почти для всех оптических систем, так как возникает при прохождении света через оптические детали, ограниченные круглыми оправами линз и диафрагм (пример – картина, которая формируется ночью на потолке при дифракции излучения полупроводникового индикатора усилителя комнатной телевизионной антенны, расположенного на полу помещения).

Распределение освещенности в дифракционных кольцах впервые исследовано английским ученым Эйри (1834), поэтому центральный кружок дифракционного пятна получил название кружка (или диска) Эйри. В безаберрационных системах практически вся световая энергия сосредоточена в кружке Эйри (~ 84%). Радиусы колец пропорциональны длине волны, поэтому в белом свете кольца разных цветов налагаются друг на друга, образуя цветную кайму. Для объектива с относительным отверстием = 1: 15 диаметр центрального кружка для лучей с длиной волны 550 нм равен 0,02 мм. Угловая величина радиуса первого темного кольца в дифракционном изображении точки определяется формулой

(14.5)

и обратно пропорциональна диаметру отверстия (объектива, линзы).

Дата добавления: 2014-01-20