Доказательство

По определению

F(x)=P(x) = P(-¥< X<x),

тогда, считая в формуле (5.6) a = -¥, b = x, получим:

,

или . (5.7)

Рис.4

Рис.5

Дифференциальная функция обладает очевидными свойствами:

1. f(x)³ 0, так как функция F(x) - неубывающая;

2. , так как .

Рассмотрим некоторые примеры решения задач с использованием функций распределения.

Пример 1. Вероятность выхода за границы допуска при изготовлении деталей равна 0,25. Для контроля стабильности производства через равные промежутки времени отбирают 5 деталей. Найти вероятность того, в выборке окажется меньше 2-х деталей, размеры которых выходят за границы допуска. Построить функцию распределения числа бракованных деталей, построить многоугольник распределения.

Решение. Обозначим X - число бракованных деталей.

Возможные значения случайной величины X:

x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3, x₅ = 4, x₆ = 5,

Вероятности того, что случайная величина принимает значения x_i, вычисляются по формуле Бернулли:

,

где p=0,25; q=0,75. Закон распределения дискретной случайной величины X представляет собой таблицу:

X
P(X=xi)	0,2373	0,3955	0,2637	0,0389	0,0146	0,0010

Построим многоугольник распределения.

0,5

0,25

0 1 2 3 4 5 6 x

Рис.6. Многоугольник распределения.

Функция распределения строится по описанному выше алгоритму.

В интервале -¥ < x £ 0: F(x)=P(X<0)=0;

0 < x £ 1: F(x)=P(X<1)= P(X=0)=0,2373;

1 < x £ 2: F(x)=P(X<2)= P(X=0)+ P(X=1)=0,6328;

2 < x £ 3: F(x)=P(X<3)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)=0,8965;

3 < x £4: F(x)=P(X<4)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)=0,9844;

4 < x £ 5: F(x)=P(X<5)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)=0,9990;

5 < x £¥: F(x)= 1.

F(x)

1

0,5

0,25

0 1 2 3 4 5 6 x

Рис.7. Функция распределения.

Пример 2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

Найти параметр a, интегральную функцию F(x), построить графики функций, найти вероятность P(0<X<p/2).

Дата добавления: 2014-01-20