Нормальный закон

Нормальный закон распределения Гаусса наиболее часто встречается при анализе погрешностей измерения, контроле различных процессов, анализе явлений в биологии, медицине и т.д. Главная особенность данного распределения состоит в том, что нормальное распределение является предельным распределением, к которому приближаются другие распределения. Нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины. Дифференциальная и интегральная функции имеют вид:

(7.9)

Мат. ожидание и дисперсия:

M(x)=a, D(x) = σ². (7.10)

На рисунке изображены кривые φ(x) и Φ(x) при a=0, σ =1. Эти функции определяют нормированный нормальный закон распределения:

(7.11)

Исследуя функции (7.8), (7.10), можно доказать следующие свойства нормального распределения:

1. Для любого xÎ (-¥,¥) функция f(x) определена.

2. Для любого xÎ (-¥,¥) функция f(x)>0.

3.

4. При x=a f(x) принимает максимальное значение

5. График функции f(x) симметричен относительно прямой x=a.

6. График функции f(x) имеет две точки перегиба с координатами:

7. Форма графика функции f(x) не меняется при изменении параметра a (происходит сдвиг по оси Ох), при изменении параметра σ меняются форма кривой и максимальное значение, при этом площадь подграфика остается равной 1.

8. Из теоремы 5.2 следует, что вероятность попадания нормально распределенной сл. величины в интервал (x₁,x₂) равна

(7.12)

В практических вычислениях используют таблицы функций φ(x) и Φ(x). Заметим, что в таблицах для Φ(x) отсутствуют положительные значения аргумента, а в вычислениях применяется очевидное соотношение

Φ(-x) = 1- Φ(x). (7.13)

Во многих учебных пособиях для определения вероятностей попадания в интервалы применяется не функция распределения, а функция Лапласа:

(7.14)

Функция Лапласа удовлетворяет следующим свойствам:

1. определена на числовой оси.

2. .

3. .

4. возрастающая функция.

5. , то есть функция нечетная.

6. .

Дата добавления: 2014-01-20