Методы декомпозиционного анализа

Разработанные до настоящего времени методы декомпозиции ориен­тированы в основном на детерминированные задачи и применяют дизъ­юнктивную декомпозицию по деятельности и единицам. Притом исходные задачи выбираются аддитивно сепарабельными по деятельностям. Для ко­ординации в основном применяют стимулирование с помощью цен резуль­тата или лимитирование при помощи лимитирования результатов.

Замечание: у математической функции различают три уровня сепарабельности, которые в понижающемся порядке таковы:

1) аддитивно сепарабельная функция: f₁=

2) мультипликативно сепарабельная функция: f₂ = Пf_j(x_j);

3) несепарабельная функция: f₃ =f(x).

При этом логарифм мультипликативно сепарабельной функции ад­дитивно сепарабелен: . Таким образом, сепарабельность

можно формально повысить за счет усложнения функции.

Декомпозиция по деятельностям и единицам и координация с помо­щью цен результата в терминах классической математики (дифференци­ального исчисления) эпизодически разрабатывались еще в начале текущего столетия (А. Маршалл, А. Пигу). Но только те методы декомпозиции, ко­торые базируются на двойственной теории оптимизации, дают принципам координации с помощью цен (классическая доктрина равновесных цен) математически последовательное объяснение и алгоритмы для вычисления этих цен. Математическая основа существует еще с XVIII века в виде ме­тода неопределенных множителей Ж. Лагранжа. В трудах Л. В. Канторови­ча по линейному программированию (1939 г.) аналогами неопределенных множителей Лагранжа служат разрешающие множители, или объективно обусловленные оценки.

Математическое содержание метода стимулирования с помощью цен результата состоит в следующем. От задачи с глобальными ограничи­тельными условиями между единицами переходят к эквивалентной функ­ции Лагранжа, в которой неопределенный множитель имеет содержание цены. Далее для анализа функции Лагранжа используются понятия седло-вой точки или двойственной функции.

Экономическое толкование этого класса методов представляет собой классическую теорию конкурентных равновесных цен. Задача координирую­щего центра (рынка) состоит в том, чтобы корректировать цены по соотно­шению между предложением и спросом единиц. Поскольку балансовое соот­ветствие предложения и спроса определяется фадиентом целевой функции центра, то корректировка цен в основном происходит на этой основе.

Применимость этого класса методов ограничивается тем, что ис­ходная задача должна быть аддитивно сепарабельна и иметь строгую во­гнутость; другими словами, частные планирующие задачи здесь на каждом шаге должны иметь единственные решения. Последнее утверждение не распространяется на методы с нелинейными ценами. Метод Данцига — Вульфа обходит это препятствие с помощью того, что на последнем шаге координирующая задача вместо стимулирования применяет лимитирова­ние деятельности в самой строгой форме (диктат).

Другой, больший класс методов, который применяется при декомпо­зиции по деятельностям и единицам с помощью лимитирования результатов, начал развиваться несколько позже. Идея исходит от Я. Корнай и Т. Липтака (1961г.). Позднее ее разработал В.А.Волконский (1973 г.), развили К. А. Багриновский (1968 г.), Дж. Сильверман (1972 г.) и другие.

Математическая идея лимитирования состоит в том, что ограниче­ния исходной задачи распределяются по деятельности или по единицам, ко­торые в этих пределах определяют локальные оптимумы. Координация ис­пользуется для нахождения распределения ограничений, позволяющего достигнуть глобального оптимума. Индикативной информацией могут здесь служить двойственные решения частных задач планирования. Об экономи­ческом содержании изложенного метода следует сказать, что решения двойственных задач описывают предельные эффективности выделенных ресурсов и обязательств. На этой основе ресурсы и обязательства перерас­пределяются до тех пор, пока эффективности не станут одинаковыми.

Метод может использоваться как при линейных, так и при нели­нейных аддитивно сепарабельных задачах. Преимущество этого метода в том, что в ходе решения приближенные планы являются допустимыми. Его недостаток — это сложность координации, связанная с трудностями обеспечения непротиворечивости частных задач.

Некоторые комбинированные классы методов представляются также экономически эффективными.

Дизъюнктивная композиция по времени и координация с помощью цен результата может рассматриваться как самостоятельный класс мате­матических методов, в котором вместо функции Лагранжа применяется функция Гамильтона, т. е. это подход является версией принципа макси­мума Понтрягина. Разработки этого подхода были опубликованы В. Е. Дементьевым.

Первая работа о конъюнктивной декомпозиции по результатам (ог­раничениям) и координации с помощью штрафов деятельности была опубликована в 1966 г. Дж. Лионсом и Р. Темамом, и далее этот подход был развит Ж. Сеа. Данный класс методов называется методом совмеще­ния планов. По основной идее этих методов вся система частных задач состоит из планирующих задач. В каждой частной задаче в ходе итерации определяется весь план исходной задачи с учетом:

• целевой функции исходной задачи;

• части ограничений исходной задачи;

• значений плана остальных задач на предыдущем шаге (с целью
уменьшения различия между локальными планами). Метод работает
для широкого класса задач, в том числе несепарабельных.

Дизъюнктивную декомпозицию по деятельности и единицам и ком­бинированную координацию, как уже указывалось, впервые применили Дж. Данциг и П. Вульф в 1960 г. Их идея такова: в ходе решения координация происходит с помощью цен результата, и на последнем шаге итерации применяется диктование.

А. Чарнесом, Р. Кловером и К. Кортанеком был рассмотрен подход комбинирования цен результата и лимитов результата. Позднее этот под­ход исследовал Ю. Эннусте. Ф. Мартинес-Солер изучал применение цены деятельности и лимита результата, а Б. Т. Поляк и Н. В. Третьяков предложи­ли сочетание цены результата и штрафа за результат. Принцип цены резуль­тата и штрафа за деятельность был использован Л. М. Дудкиным. Следует отметить, что по сравнению с уникоординацией при комбинированных мето­дах координации существенно растет объем последней, но полученные ре­зультаты позволяют предполагать, что основанные на этом методы являются более общими и лучше сходятся. С точки зрения экономической науки вари­ант комбинации цен результата и лимитов результата кажется наиболее со­держательным, так как сочетает гибкость координации посредством цен и стабильность, достигаемую лимитированием.

Параллельное применение стимулирования и лимитирования в эко­номических системах очень распространено, причем лимитирование не только обеспечивает большую стабильность, но и позволяет также коррек­тировать недостатки стимулирования. Таким образом, дальнейшее разви­тие этого метода представляет большой интерес: он может стать как мето­дом решения, так и средством моделирования и анализа функционирова­ния экономических процессов.

В области разработки методов декомпозиции стохастических задач существуют лишь некоторые частные подходы (Д. Б. Юдин, Ю. Эннусте). Однако эти задачи представляют особый интерес для экономических ис­следований, так как экономические задачи являются по существу стохас­тическими, и анализ процессов координации представляется здесь особен­но плодотворным. Общие трактовки в этом направлении предлагаются теорией экономического равновесия в условиях неопределенности. Однако работы по экономическому равновесию не содержат идеи иерархической координации.

В области синтеза систем на основе методов декомпозиции развива­ется преимущественно формализованная теория механизма управления экономикой. В качестве математического аппарата в основном использует­ся теорема X. Куна и А. Таккера о седловой точке, а также связи последней с задачами на оптимум. Это же направление продолжали работы О. Ланге, М. Месаровича, Я. Корнай, Н. П. Федоренко, А. Г. Аганбегяна, К. А. Багриновского, А. Г. Гранберга, В. И. Данилова-Данильяна, М. Г. Завельского и других.

Указанные авторы в своих исследованиях старались исходить из возможно более общих экономических условий и описывать строгие моде­ли экономических систем на базе декомпозиционных методов. Но зачас­тую для строгости им приходилось жертвовать общностью трактовки, а поэтому и адекватностью с реальными системами управления.

Дата добавления: 2014-01-11