Прямолинейные колебания точки

Самостоятельная работа

Определенный интеграл

1. Определение: Если предел интегральных сумм, при достаточном малом разбиении отрезков, стремится к одному и тому же конечному пределу А, то число А называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке от а до b..

Формула Ньютона – Лейбница:

Определенный интеграл от функции f(x) на отрезе от а до bравен разности первообразных взятых от верхнего и нижнего пределов интегрирования.

2. Геометрический смысл определенного интеграла

Свойства площадей плоских фигур

Словесная формулировка	Математическая формулировка
Площадь величина положительная
Равные площади имеют равные площади
Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей
Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Варианты расположения плоских фигур

Дано	рисунок	формула

3. Применение определенного интеграла в геометрии

задача	формула
Вычисление объема тела по известным площадям его поперечных сечений
Вычисление объема тела вращения
Длина дуг кривой
Площадь поверхности вращения

4. Применение определенного интеграла в физике.

задача	формула
Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении
Вычисление работы силы, произведенной при прямолинейном движении тела
Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины
Определение силы давления жидкости на вертикально расположенную пластину
Вычисление массы стержня переменной плотности
Вычисление электрического заряда
Вычисление теплоты, производимое телом
Работа газа при его расширении

Найти:

а) критические точки функций,

б) экстремумы функций

1. у=(х-3)^2(х-2).		4. у=2х^4-х.
2. у=1/3х^3+х^2		5. у=х^2-2/х.
3. у=1/3х^3-х^2-3х		6. у=1/(х^2+1).
7. у=-1/4х^4+2х^2+1.		9. у=3х-х^3.
8. у=х^4-8х^2-9.		10. у=2х^2-х^4.
Индивидуальные домашние задания   1. у=(х-2)(х+1)^2.
2. у=-2/3х^3+2х-4/3.
3. у=3х^5-5х^4+4.
4. у=9х^2-9х^3.
5. у=1/3х^3-4х.

Рассмотрим материальную точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной восстанавливающей силы F, направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра.

Найдем з-н дв-я т.М.

Колебания, кот-е совершаются по ур-ю дв-я т.М, наз-ся гармоническими.

А – величина, равная наибольшему отклонению точки М от центра кол-ий О.

φ - фаза кол-й (опр-т направление дв-я). Фазы, отличающиеся на 2п считаются одинаковыми.

Α - Начальная фаза кол-й

ω = к – круговая частота

Величина, обратная периоду, наз-ся частота.

Определение амплитуды и начального смещения по начальным условиям.

Св-ва свободных кол-й

Амплитуда и начальная фаза кол-й зависят от начальных (краевых) условий. Частота и период кол-й от нач-х усл-й не зависят.

Рассмотренные кол-я наз-т линейными поскольку они описываются лин-ми диф-ми ур-ми.

Влияние постоянной силы на свободные кол-я точки

Пусть на т. М, кроме восстанавливающей силы F, действует постоянная по модулю и направлению сила Р. В этом случае положение равновесия точки М будет смещено.

Смещение О’О’₁ наз-ся статическим отклонением.

Постоянная сила Р, не изменяя характер кол-й, смещает центр кол-й в сторону действия силы на величину статического отклонения.

Свободные кол-я при вязком сопротивлении (затухающие кол-я)

Решение диф-го ур-я (Б) ищут в виде х=е^nt

1) k>b Тогда, когда сопротивление среды мало по сравнению с восстанавливающей силой.

Кол-я характеризуются логарифмическим декрементом затухания.

Задача №1

Задача №2

2) Колебание системы с сопротивлением, в случае большого сопротивления b>k

r²=b² – k²

Решение ДУ кол-ий системы представляется в виде

Эти графики приведены для колебаний с начальным смещением х₀ при: v_0х>0, v_0х≈0, v_0х<0.

3) b=k

Дата добавления: 2014-01-20