Достаточные условия экстремума. Необходимые условия экстремума

Необходимые условия экстремума.

Экстремум функции 2 переменных.

Лекция № 26

Вынужденные колебания и резонанс

Вынужденные – те кол-я, в кот-х, кроме восстанавливающей силы F, действует внешняя периодически изменяющаяся сила.

Рассматриваем случай, где внешняя возмущающая сила явл-ся гармонической.

Вынужденные кол-я при отсутствии сил сопротивления

А и α – постоянные, определяемые из начальных условий

Решение ур-я (1) в форме (2) показывает, что кол-я точки складываются из собственных кол-й с амплитудой А и частотой k, зависящих от начальных условий, и вынужденных кол-й с амплитудой В и частотой р.

В случае, когда р=k имеет место явл-е резонанса.

Из ур-я (2) видно, что размахи вынужденных кол-й со временем будут возрастать.

Вынужденные кол-я при вязком сопротивлении

Рассматриваем дв-е точки, на кот-ю действует восстанавливающая сила, сила сопротивления дв-ю, пропорциональная ск-ти и возмущающая сила.

Решение ДУ получается ан-но выводам ур-я кол-й без сопротивления.

А и α – постоянные, определяемые из начальных условий

Общие св-ва вын-ных кол-й:

ü Амплитуда ВК от нач-ых условий не зависит

ü ВК-я при наличии сопротивления не затухают

ü Частота ВК = частоте возмущающей силы и от хар-к колеблющейся ситемы не зависит

ü Даже при малой возмущающей силе можно получить ВК с большой амплитудой при наблюдении явл-я резонанса

по теме: «Экстремум функции двух и нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума.»

Волгодонск

Рассмотрим функцию z=f(x;y) двух переменных, определённую в некоторой области D.

Определение: Функция f(x;y) имеет строгий локальный максимум (минимум) в точке, если неравенство имеет место во всех точках из некоторой достаточно малой окрестности точки.

Определение: Функция f(x;y) имеет экстремум в точке, если эта функция имеет максимум или минимум в этой точке.

Если дифференцируема в точке и имеет экстремум в этой точке, то её дифференциал равен нулю:

Определение: Точка называется стационарной точкой функции, если

Пусть -стационарная точка функции Обозначим

1.Если и, то -точка максимума.

2.Если и, то -точка минимума.

3.Если, то -не является точкой экстремума.

4.Если то точка может как быть, так и не быть точкой экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование.

Пример:

Исследовать на экстремум:

Решение:

Найдем частные производные заданной функции:

;. Единственной стационарной точкой является точка (Которая получена при решении системы и).

Найдем частные производные второго порядка:

;; Так как то точка не является точкой экстремума.

Пример:

Исследовать на экстремум:

Решение:

Найдем частные производные заданной функции:

;. Стационарными точками являются точка и (Которые получены при решении системы и).

Найдем частные производные второго порядка:

;;. Рассмотрим выражение вида:. В точке - экстремума нет, поскольку. В точке наблюдается минимум, так как и.

Задача для самостоятельного решения:

Исследовать на экстремум:

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется функцией строгим локальным максимумом (минимумом)?

2. Что называется стационарной точкой?

3. Каковы необходимые условия экстремума?

4. Каковы достаточные условия экстремума?

Дата добавления: 2014-01-20