Предел функции

1. Определение предела функции: Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к х₀ (или в точке х₀), если для существует такое, что для всех х, удовлетворяющих условиям имеет место неравенство.

Если А есть предел функции f(x) при х, стремящемся к х₀, то пишут.

Геометрическая иллюстрация предела функции дана на рисунке. Значение δ по данному ε для точке х₀ определяется так: проводятся прямые и, затем δ выбирается таким образом, чтобы для всех х, из интервала соответствующие значения функции находились в полосе, ограниченной проведенными прямыми и. При этом о значении функции в точке х₀ ничего не предполагается – оно может равняться А, может отличаться от А на какую угодную величину, может даже не существовать. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε, у=А-ε. Функция не может иметь двух разных пределов.

2. Определение односторонних пределов: Число А₁ называется левым пределом функции в точке х₀, если для любого найдется число такое, что из неравенства следует неравенства

Число А₂ называется правым пределом функции в точке х₀, если для любого найдется число такое, что из неравенства следует неравенства.

3. Условие существования предела функции: Предел функции при х, стремящемся к х₀ существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой оба односторонних предела, т.е..

4.Предел функции при х → ∞

Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→∞, если для любого положительного числа ε существует такое число М>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так. Геометрический смысл этого определения таков: для любого ε>0, существует М>0, что при х є (-∞; -М) или х є (М; +∞) соответствующие значения функции ƒ(х) попадают в ε -окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε

5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции:

Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой (ББФ) при х→х₀, если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.

Функция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой (ББФ) при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.

Функция f(x) называется бесконечно малой (БМФ) при, если для любого числа ε>0 найдется число δ>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-x₀|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|<ε..

Связь между ББФ и БМФ:

- если f(x) – ББФ, то - БМФ; - если f(x) – БМФ, то - ББФ.

6. Основные теоремы о пределах функций: Если функции и определены и существуют пределы, то….

Словесная формулировка	Математическая формулировка
1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов
2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов
3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
4. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела
5. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю

Дата добавления: 2014-01-20