Решение. Относительно координатных осей:

Моменты инерции

Относительно координатных осей:

; .

Относительно начала координат:

.

Задача.

Найти координаты центра тяжести однородной плоской тонкой пластины, ограниченной четвертью эллипса в первом квадранте и координатными осями (рис. 9).

Поскольку пластина однородная, то плотность . Можно считать, что плотность .

Масса однородной тонкой пластины в данном случае будет равна площади, которую она занимает. Площадь области, границей которой является эллипс равна . Следовательно, масса пластины, равная площади области, ограниченной четвертью эллипса, будет равна

.

Если точка – центр тяжести, то для ее координат справедливо:

; .

Так как область, которую занимает пластина, ограничена эллипсом (рис.9. a), то перейдем к эллиптическим координатам. В эллиптических координатах и область преобразуется в прямоугольник (рис. 9. b).

Рис. 9. a Рис. 9. b

Тогда, учитывая якобиан преобразования при переходе к эллиптическим координатам, получим:

.

В последнем интеграле переменные разделены, то есть внутренний интеграл не зависит от переменной внешнего интегрирования. Это означает, что повторный интеграл равен произведению интегралов и .

Учитывая это, вычислим .

.

Аналогично определяется ордината центра тяжести.

.

Значит, центр тяжести однородной тонкой пластины имеет координаты .

Дата добавления: 2014-01-20