Определение. Определение, механический и геометрический смысл криволинейного интеграла 1 рода

Определение, механический и геометрический смысл криволинейного интеграла 1 рода. Теорема существования

Пусть функция определена в каждой точке гладкой кривой . Разобьём участок кривой от точки до точки (рис. 1) произвольным образом на частей (элементарных дуг) точками .

Обозначим через длину дуги . На каждой дуге возьмём произвольную точку , вычислим: и составим интегральную сумму .

Рис. 1.

Предел интегральной суммы при и при ранге дробления , если он существует, конечен, не зависит от способа дробления дуги и от выбора точек , называется криволинейным интегралом 1 рода по кривой от точки до точки . Для криволинейного интеграла используется обозначение:

.

Функция называется при этом интегрируемой на участке кривой .

Если функция является распределенной на кривой переменной плотностью, то интегральная сумма приближенно равна массе дуги кривой . Масса этой дуги равна пределу интегральной суммы при и при ранге дробления . В этом состоит механический смысл криволинейного интеграла 1 рода:

.

Если в последней формуле положить , то криволинейный интеграл равен длине дуги кривой от точки до точки .

.

Дата добавления: 2014-01-20