Пространственная кривая, заданная параметрическими уравнениями

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода

.

Пусть пространственная кривая задана параметрическими уравнениями:

; ; ,

и участку кривой от точки до точки соответствует неравенство: .

Будем считать, что точек деления достаточно много и дугу можно приближенно считать отрезком прямой между точками и . Тогда ее длина вычисляется по формуле:

.

Применяя терему Лагранжа, получим:

;

;

,

где .

Формула для длины дуги примет вид:

.

Из этой формулы ясно, что ранг дробления при .

Пусть значению функции в точке соответствует значение параметра . Тогда, выражая все переменные в интегральной сумме через и переходя в интегральной сумме к пределу при и при ранге дробления , получим

.

Следовательно, криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу по отрезку от функции .

Задача

Вычислить длину одного витка винтовой линии .

Дата добавления: 2014-01-20