Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнениям называется выражение вида:

Введение

Обыкновенным дифференциальным уравнениям называется выражение вида:

Где F – функция от (n+2) переменных, x – неизвестная переменная, y – неизвестная переменная которую необходимо найти.

- последовательные производные y.

Пример

Решением дифференциальных уравнений, называется такая функция, , которая при подстановке в уравнение обратит его в верное равенство.

Пример

Решение дифференциального уравнения определяется не однозначно, с точностью до постоянной.

Порядок уравнения определяется по старшей производной, вход в это уравнение:

- второй порядок;

- первый порядок;

Уравнение n-го порядка, зависит от n-произвольных постоянных.

Общим решением дифференциального уравнения, называется выражение вида:

- произвольные постоянные.

При фиксированных получаем различные решения.

Перебирая постоянные, получим все решения, бывают исключения, что некоторые решения дифференциального уравнения не записываются в форме общего решения – особые решения.

Частное решение, если зафиксированные постоянные в общем решении.

х-координата, -ускорение.

2. Задача Коши – решение дифференциального уравнения, так что выполняется начальные условия

- начальные условия.

Для уравнения n-го порядка ставится n-начальных условий.

1) Уравнение 1-го порядка:

- уравнение в нормальном виде.

2) Симметричный (дифференциальный) вид.

Геометрическая интерпретация уравнений 1-го рода.

- правая часть определяет поля направлений.

Решение дифференциального уравнения это такая кривая (функция), которая в любой своей точке имеет такой угловой коэффициент касательной, совпадающий с угловым коэффициентом поля направлений в этой точке.

Пример

График решений – интегральная кривая.

Дата добавления: 2014-01-20