Комплексные числа

Определение1: числа вида z = x + iy, где x,y – действительные числа, i = , называются комплексными. Очевидно, что i2 = -1;

Пример: z1 = 2 + 3i; z2 = -+ 2i;

Утверждение:

1. Комплексное число z = 0, если x = 0, y = 0.

2. Два комплексных числа z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, считаются равными, т.е. z1 = z2, если x1= x2 и y1= y2.

x – действительная часть комплексного числа;

iy – мнимая часть комплексного числа;

i = - мнимая единица.

Рассмотрим плоскость XOY:

Y

z = x + iy

y – – – – ●

|

|

x X

Итак, каждой точке плоскости соответствует комплексное число и каждому комплексному числу соответствует некоторая точка плоскости, т.е. между множеством комплексных чисел и точек плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Y

y – – – – – – z

ρ

φ

x X

ρ – модуль комплексного числа z.

ρ = |z|

φ– аргумент комплексного числа и обозначается φ=arg z; 0≤ φ ≤ 2π.

Arg z = arg z + 2πk, k c Z;

Из треугольника, найдем:

ρ = ;

x = ρ · cos(φ); y = ρ · sin(φ); tg(φ) = , тогда

комплексное число z = x + iy запишется в виде:

z = ρ · cos(φ) + i · ρ · sin(φ);

z = ρ·(cos(φ) + i·sin(φ)) – тригонометрическая формула комплексного числа.

Пример: записать комплексное число z = 2 + 2 · i в тригонометрической форме

x = 2; __ __________ _____

y = 2√3, найд е м ρ = √ 22 + (2√3)2 = √4+12 = 4.

tg(φ) = = 2= ; значит

tg(φ) = ;

z = 4 · (cos+ i · sin);

Дата добавления: 2014-01-20