Показательная форма комплексного числа

Функция от комплексной переменной.

Определение: комплексная переменная ω называется функцией от комплексной переменной z из комплексной области, если каждому значению z по некоторому правилу и закону ставится в соответствии комплексная переменная ω и обозначается ω = ƒ(z).

Рассмотрим одну функцию – показательную

ω = ez = ex+iy;

значение этой функции вычисляется следующим образом:

ex+iy = ex ·(cos(y) + i · sin(y));

Пример:

e 2-π/4·i = e2 (cos(-π/4) + i· sin(-π/4)) = e2 (√2/2 + √2/2·i);

пусть x=0, получим

eiy = e0 (cos(y) + i· sin(y));

eiy = cos(y) + i· sin(y) -формула Эйлера.

Заменим в этой функции y на (-y)

eiy = cos(y) + i· sin(y) (1)

e-iy = cos(-y) + i· sin(-y) (2)

вычислим из 1-2

eiy - e-iy = 2 i · sin(y)

sin(y) = eiy - e-iy;

2i

теперь сложим, получим

cos(y) = eiy + e-iy;

Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме:

z = ρ·(cos(φ) + i·sin(φ));

cos(φ) + i·sin(φ) = | по формуле Эйлера| = ei·φ, то

z = ρ· ei·φ;

Пример:

1) z = -i; {y = –1; x=0; т.е. z=0 –i;}

tg(φ) = = -∞; ;

S = =1; –i = 1·;

2) z = -2; {z = -2 + 0·i};

x= –2; y=0;

p = =2;

tg(φ) = 0; φ=π;

-2=2·;

Дата добавления: 2014-01-20