Площадь криволинейного сектора

Рассмотрим полярную систему координат. В ней задана функция p=ƒ(φ), где ƒ(φ) непрерывна на отрезке [α, β].

p = ƒ(φ)

Δφi

β

α

⁰ P

Разобьем эту фигуру лучами:

α = φ0 < φ1 <.. < φi-1 < φi <..< φn = β

Δφi = φi – φi-1, i = ;

В каждом частичном отрезке [φi-1, φi ] выберем произвольное значение функции в этих точках, то есть . Каждый криволинейный сектор заменим круговым сектором с радиусом , так поступим с каждым в отдельности круговым сектором. Площадь одного кругового сектора: Si = .

Просуммируем эти секторы, получим:

Sn = = = ;

За площадь криволинейного сектора принимается предел, к которому стремится площадь «ступенчатой фигуры», когда число точек деления неограниченно увеличивается.

S = Sn = ,

Так как функция ƒ(φ) – непрерывна на отрезке [α, β], то этот предел есть определенный интеграл.

S = = ;

S = - площадь криволинейного сектора.

Пример: найти площадь фигуры, ограниченной кривой

p = a cos3φ; где а =const; p≥0;

π/6

0 a p

1. p=a; cos3φ=1; 3 φ = 0 + 2πn; φ=;

при n=0; φ=0;

n=1; φ=;

n=2; φ=;

2. p = 0; cos3φ=0; φ=;

φ=; φ= –;

S= 6·= 3 = 3a2= =

= = ;

Дата добавления: 2014-01-20