Вычисление объема тела по площади параллельных сечений

Дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью. В каждой точке x[a,b]. Известна площадь сечения этого тела плоскостью перпендикулярной оси Ох. Эта площадь зависит

от х, является функцией от х.

a x1 xi-1 ζi xi b x

Обозначим эту функцию, Q(x) – непрерывна на отрезке [a,b].

Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками: a = x0 < x1 <..< xi-1< xi <..< xn = b;

Проведем через эти точки плоскости перпендикулярные оси Ох, которые разбивают тело на слои.

Выберем в каждой части отрезка [xi-1,xi] произвольные точки ζi (i =1,n) и найдем значение функции в этой точке, т.е. Q(ζi).

Каждый слой заменим цилиндром с основанием равным Q(ζi) и высотой Δxi.

Так поступим с каждым слоем, в результате получили некоторое «ступенчатое тело». Объем такого цилиндра равен Q(ζi) Δxi = Δvi.

Тогда объем «ступенчатого тела»:

ΔV = = .

За объем данного тела принимается предел, к которому стремится объем «ступенчатого тела», когда число точек деления неограниченно увеличивается:

ΔV = = Q(x) dx.

Дата добавления: 2014-01-20