Объем тела вращения. Дана криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x = b, осью Ох и кривой y=ƒ(x)

Дана криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x = b, осью Ох и кривой y=ƒ(x). Эта трапеция вращается вокруг оси Ох. В результате получили тело.

Сечение этого теле в каждой точке есть

y круг с радиусом ƒ(x).

y=ƒ(x) Значит площадь ьакого сечения

Q(x) = πy2 = πƒ2 (x).

ƒ(x) Объем этого тела равен:

a x b

x Vox = πy2dx = π y2dx.

Аналогично находится площадь фигуры с осью Оу.

Фигура ограничена линиями c и d, осью Оу и

у x = ƒ(y).

Voy = π x2dy.

x

Пример: найти объем тела, полученного вращением эллипса вокруг оси Ox.

; V = 2πy2dx;

y

b

-a a x

-b

y2 = b2 (1 - ); V = 2πb2 (1 – )dx = 2π b2 (x– ) = 2π b2(a –) =

= ;

Дата добавления: 2014-01-20