Связь между напряжённостью и потенциалом

Электростатическое поле характеризуется двумя физическими величинами — напряжённостью и потенциалом. При этом напряжённость является вектором, а потенциал — скаляром. Очевидно, что между ними должна существовать определённая связь. Для её установления рассмотрим две точки, находящиеся на элементарном расстоянии , потенциалы которых равны и (рис. 10.1). Найдём элементарную работу, совершаемую силами поля при перемещении пробного заряда из точки 1 в точку 2. Эту работу можно вычислить двумя способами. Поскольку участок элементарный, то его считаем прямолинейным и изменением напряжённости поля, следовательно, и силы , действующей на заряд, пренебрегаем. Пусть направления и составляют угол .

По определению, работа по перемещению определяется соотношением

.

Согласно (2.1), . Тогда

.

Но - проекция вектора на направление . Следовательно

. (10.1)

С другой стороны, согласно (9.3),

.

Поскольку точки близки, то потенциалы этих точек будут отличаться на элементарную величину , т.е. . Поэтому

. (10.2)

Сравнивая (10.1) и (10.2), получаем, что . Отсюда

(10.3) и . (10.4)

Знак минус в выражении (10.4) указывает на то, что напряжённость в любой точке поля направлена в сторону убывания потенциала. Итак, проекция напряжённости на какое-либо направление в каждой точке поля равна производной потенциала по данному направлению.

Дата добавления: 2014-01-20