Решение. Рассчитывается масштабный коэффициент плана скоростей

Определение скоростей и ускорений методом планов

План скоростей (ускорений) – чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и по направлениям скоростям (ускорениям) различных точек звеньев механизма.

План скоростей (ускорений) для механизма является совокупностью нескольких планов скоростей (ускорений) для отдельных групп Ассура, а значит, и отдельных звеньев. При построении планов скоростей (ускорений) используются известные из теоретической механики теоремы о сложении скоростей и ускорений.

Правила построение планов

1. Построение планов ведется по векторным уравнениям в порядке присоединения групп Ассура к ведущему звену.

2. Планы скоростей (ускорений) строятся из одного полюса. Р_υ - полюс плана скоростей; Р_а - полюс плана ускорений (см. п. 2.1.).

3. Скорости и ускорения внешних шарниров должны быть известны и ранее определены. Необходимо определить скорости внутренних шарниров.

3. Концы векторов скоростей (ускорений), т.е. концы стрелок, обозначаются теми же буквами (только малыми), что и кинематические пары (точки) на механизме.

4. Концы нормальных ускорений имеют индекс n, кориолисовых k, тангенциальных (касательных) τ, релятивных (относительных) r.

Рассмотрим построение планов скоростей и ускорений для каждой структурной группы.

Задача 1. Кинематический анализ структурной группы

II класса 1 вида

Исходные данные для расчета:

ℓ_АВ, ℓ_ВС, ℓ_ВЕ = ℓ_СЕ - длины звеньев в м; υ_А, υ_С - скорости внешних шарниров (направление и величина) в м/с; а_А, а_С - ускорения внешних шарниров (направление и величина) в м/с².

Определить: υ_В, а_В - направление и величина скорости и ускорения внутреннего шарнира; ω₂, ω₃ - угловые скорости звеньев; ξ₂, ξ₃ - угловые ускорения звеньев; υ_Е, а_Е - скорость и ускорение точки Е.

Общие сведения. В точке В соединены 2 звена. Поэтому будут две точки В: В₂, принадлежащая второму звену, и В₃, принадлежащая третьему. Если звенья соединены во вращательную кинематическую пару, то линейные скорости и ускорения будут равны, а угловые нет, т.е.

υ_В2 = υ_В3, а _В2 = а _В3, ω₂ ¹ ω₃, ξ₂ ¹ ξ₃.

μ_υ = υ_А/[Р_υа] = (м/с), (2.30)

причем отрезок [Р_υа] выбирается произвольно.

Затем считается чертежная величина вектора скорости точки С

[Р_υс] = υ_С /μ_υ = (мм). (2.31)

Построение плана скоростей. На свободном поле чертежа выбирается точка полюса Р_υ. Из нее строятся заданные или заранее определенные отрезки скоростей [Р_υа] и [Р_υс] (рисунок 2.6). Для определения скорости точки В движение этой точки раскладывается на переносное поступательное со скоростями точек А и С и относительное вращательное вокруг этих же точек. Тогда, воспользовавшись сложением скоростей, векторные уравнения будут иметь вид:

υ_В = υ_А+ υ_ВА ^ АВ;

υ_В = υ_С + υ_ВС ^ ВС. (2.32)

В(В₂,В₃) а υ_А Р_υ

υ_В υ_С

2 3 ω₃ с

υ_ВА υ_Е

А Е С е

1 ω₂ 4 в υ_ВС

υ_А υ_С

Рисунок 2.6 - Схема структурной группы II класса 1 вида

и ее план скоростей

Направления относительных скоростей известны по направлению: υ_ВА ^ АВ, υ_ВС ^ ВС. Величины этих скоростей будут находиться из построения плана скоростей. Для этого из точки а на плане скоростей проводится линия действия скорости υ_ВА, перпендикулярная звену АВ, а из точки в проводится линия действия вектора скорости υ_ВС, перпендикулярная звену ВС. На пересечении получается искомая точка в.

Точка е на плане скоростей определяется по правилу подобия:

1. если на схеме механизма имеется жесткий треугольник (ΔВСЕ), то на плане скоростей (ускорений) будет подобный треугольник (Δвсе), причем порядок букв на схеме механизма будет совпадать с порядком букв на плане скоростей или ускорений (обход контура);

2. если точка находится на звене и делит его на пропорциональные отрезки, то данная точка на плане скоростей(ускорений) будет находиться на соответствующем векторе и делить его на равнозначные пропорциональные отрезки;

3. если точка находится на продолжении звена, то на плане скоростей (ускорений) она будет находиться на продолжении соответствующего вектора, причем порядок букв на схеме механизма будет совпадать с порядком букв на плане скоростей или ускорений.

Воспользуемся п.1 из правила подобия. Так как по заданию ℓ_ВЕ = ℓ_СЕ, то и отрезки ве = се. Длина этих отрезков определится из пропорции

ℓ_ВЕ/ℓ_ВС=ве/вс. (2.33)

Теперь из точек в и с проводятся дуги до их пересечения, равные этим отрезкам. Получается искомая точка в.

Определяются действительные значения всех найденных векторов скоростей:

υ_В = [Р_υв]μ_υ =

υ_Е = [Р_υе]μ_υ = (м/с).

υ_ВА = [ав]μ _υ=

υ_ВС = [вс]μ_υ =

Отрезки замеряются на плане скоростей в мм и умножаются на масштабный коэффициент плана скоростей.

После определения линейных скоростей определяются угловые скорости:

ω₂ = υ²_ВА/ℓ_АВ = (с^-1),

ω₃ = υ²_ВС/ℓ_ВС = (2.34)

а затем и их направления.

Определим направление угловой скорости ω₂. Для этого вектор линейной скорости υ_ВА мысленно переносим во внутренний шарнир на схеме механизма, т.е. в точку В, и вращаем точку В относительно точки А (точку А считаем неподвижной). Аналогично определяем направление ω₃.

Построение плана ускорений. Рассчитываем масштабный коэффициент плана ускорений:

μ_а = а_А/[Р_аа] = (^м/с2/_мм). (2.35)

Затем высчитываем чертежную величину вектора ускорения точки С:

[Р_ас] = а_С/µ_а = (мм). (2.36)

На свободном поле чертежа произвольно выбирается точка полюса Р_а. Из нее проводятся ранее определенные отрезки [ Р_аа ] и [ Р_ас ] (рисунок 2.7).

Для определения ускорения внутреннего шарнира (точки В) рассматриваем ее сложное движение. Сложное движение состоит из переносного поступательного с ускорениями а_А и а_С, и относительного вращательного вокруг точек А и С. Тогда векторные уравнения для определения ускорения точки В будут следующие:

а_В = а_А + аⁿ_ВАêêАВ + а^τ_ВА^АВ

а_В = а_С + аⁿ_ВСêêВС + а^τ_ВС^ВС (2.37)

В а а_А Р_а

аⁿ_ВА

2 3 n_ВА а_С

ξ ₂ ξ ₃ а_ВА а_В с

А Е аⁿ_ВС

а_А С а^τ_ВА e n_ВС

1 а_С 4 а^τ_ВС

в

Рисунок 2.7 - Схема структурной группы II класса 1 вида

и ее план ускорений

В уравнении (2.37) известны направления всех векторов: нормальные ускорения направляются параллельно звеньям к центру вращения, а тангенциальные - перпендикулярно этим же звеньям. Величины нормальных ускорений находятся по формулам в (м/с²):

аⁿ_ВА= υ²_ВА/ℓ_АВ =

аⁿ_ВС = υ²_ВС/ℓ_ВС = (2.38)

Вычисляем чертежные значения нормальных ускорений в мм:

(2.39)

Тангенциальные ускорения определяются построением плана ускорений.

Из точки а на плане ускорений откладываем вектор êêАВ и направляем его к точке А. Затем из точки n_ВА проводим линию действия тангенциального ускорения а^τ_ВА^АВ. Через точку с проводим вектор êêВС и направляем его к точке С, а из точки n_ВС проводим линию действия тангенциального ускорения а^τ_ВС ^ ВС. Пересечение этих линий даст искомую точку в иопределит длины векторов тангенциальных ускорений. Точку е найдем по п.1 правила подобия. Для этого составим пропорцию: ℓ_ВС/ℓ_ВЕ = вс/ве и строим аналогично скорости. Действительные значения ускорений определяются по формулам:

а_В= [Р_ав] μ_а = (м/с²);

а_Е = [Р_ае] μ_а = (м/с²);

а^τ_ВА = [n_ВАв] μ_а = (м/с²); (2.40)

а^τ_ВС = [n_ВСв] μ_а = (м/с²).

Величина угловых ускорений определяется по формулам:

ξ₂ = а^τ _ВА/ℓ_АВ = (с^-2);

ξ₃ = а^τ _ВС/ℓ_ВС = (с^-2). (2.41)

Для определения направления угловых ускорений необходимо векторы этих ускорений мысленно приложить во внутренний шарнир и поворачивать звенья относительно точек А и С (рисунок 2.7).

Задача 2. Кинематический анализ структурной группы

II класса 3 вида

Исходные данные для расчета:

ℓ_ОВ - межосевое расстояние (м),

ℓ_ВD - длина кулисы (м);

υ_А1, υ_В = 0 – величина и направления скоростей внешних шарниров (м/с);

величина и направления ускорений внешних шарниров а_А1, а_В = 0 (м/с²).

Определить:

υ_А3, а_А3 - направление и величину скорости и ускорения внутреннего шарнира;

ω ₃, ξ ₃ - величину и направление угловых скорости и ускорения кулисы;

υ_D, а_D - скорость и ускорение точки D.

Общие сведения. В точке А соединяются три звена, поэтому будет три точки: точка А₁, принадлежащая первому звену; точка А₂, принадлежащая второму звену и точка А₃, принадлежащая третьему звену (рисунок 2.8). Как было указано в Задаче 1, если звенья соединены во вращательную кинематическую пару, то линейные скорости и ускорения этих звеньев равны, а угловые нет, т.е.

υ_А1 = υ_А2, а_А1 = а _А2; ω₁ ¹ ω₂;ξ₁ ¹ ξ₂.

Если звенья соединены в поступательную кинематическую пару, то линейные скорости и ускорения не равны между собой, а угловые равны, т.е.

υ_А2 ¹ υ_А3, а _А2 ¹ а _А3; ω₂ = ω₃; ξ₂ = ξ₃.

а) D б) в)

3

d а₃ d а₃ а_А3

υ_А1 υ_А3А2 υ_А3 а^r_А3А2 Р_а

а_А1 А(А₁,А₂,А₃) Р_υ n_А3В аⁿ_А3В

2 а_1,2 υ_А1 k_А3А2 а_А1 а ^t_А3В

а ^к_А3А2 а_1,2

В ω₃

4 ξ₃

а - схема структурной группы; б - план скоростей; в - план ускорений

Рисунок 2.8 - К кинематическому анализу структурной группы II класса 3 вида

Решение. Рассчитывается масштабный коэффициент плана скоростей:

μ_υ= υ_А1 / [P_υа₁].

Построение плана скоростей. На свободном поле чертежа из полюса строим вектор скорости точки А₁ (рисунок 2.8, б).

Определим скорость точки А₃. Особенность группы Ассура 3-го вида заключается в том, что переносным движением является вращательное движение кулисы 3 вокруг точки В, а поступательным является движение кулисного камня 2 по кулисе 3. Из этого следует, что абсолютная скорость точки А₃ равна сумме двух скоростей: поступательной и вращательной. Поэтому уравнения примут вид:

υ_А3 = υ_А2 + υ_А3А2 êêАВ;

υ_А3 = υ_В + υ_А3В ^ АВ. (2.42)

В этой системе известны все направления векторов скоростей. Из точки а₁ на плане скоростей проводим линию действия υ_А3А2 êêАВ, а из полюса Р_υ (т.к. υ_В=0) – линию действия скорости υ_А3В ^ АВ. Запомните! Если скорость и ускорение точки равна нулю, то данная точка на плане скоростей или ускорений находится в полюсе! На пересечении двух линий действия получается точка а₃.

Точка D на схеме структурной группы находится на продолжении звена АВ. Поэтому ее скорость будем определять по п.3. правилаподобия (Задача 1).Следовательно, будет иметь место следующая пропорция:

. (2.43)

Определяя отрезок [ Р_υd ] в мм, откладываем его на продолжении вектора [ Р_υа₃ ]. На конце этого вектора отмечаем точку d.

Вычисляем действительные значения найденных скоростей:

υ_А3 = [P_υа₃]μ_υ = (м/с);

υ_А3А2 = [а_А3а_А2]μ_υ = (м/с); (2.44)

υ_D = [P_υd]μ_υ = (м/с).

Определяем величину и направление угловой скорости

ω₃ = υ²_А3В/ℓ_АВ, (2.45)

где ℓ_АВ = АВ·μ_ℓ = (м) – действительная длина звена АВ. Направление угловой скорости ω₃ определяется аналогично Задаче 1.

Построение плана ускорений. Величина и направление ускорений внешних шарниров известны (а_А1, а_В = 0 в м/с²). Поэтому определяем масштабный коэффициент плана ускорений:

μ_а = а_А1 / [Р_аа₁] = (^м/с2/_мм). (2.46)

Абсолютное ускорение точки а₃ равно сумме трех ускорений: переносного, относительного (релятивного) и кориолисова. Поэтому уравнение будет иметь вид:

а_А3 = а_А2 + а^к_А3А2 + а^r_А3А2;

а_А3 = а_В + аⁿ_А3В + а^t_А3В. (2.47)

В этой системе направления всех векторов известны, а именно: аⁿ_А3В || АВ и направлено к центру вращения (к точке В), а^t_А3В ^ АВ, а^r_А3А2 || АВ. Для определения направления кориолисова ускорения необходимо вектор относительной скорости υ_А3А2 повернуть вокруг его начала на 90^о в сторону угловой скорости ω₃. Величины кориолисова и нормального ускорений определяются по формулам:

а^к_А3А2 = 2 ω₃ υ_А3А2 = (м/с²); аⁿ_А3В = υ²_А3В /ℓ_АВ = (м/с²). (2.48)

Определим вектора этих ускорений в мм:

(2.49)

Из полюса Р_а проводим вектор ускорения точки А₁=А₂ - отрезок [ Р_аа₁ ]. Из точки а₁ проводим вектор кориолисова ускорения ^ АВ влево. Через точку k_А3А2 проводим линию действия относительного (релятивного) ускорения а^r_А3А2 параллельно звену АВ. Затем из полюса Р_а (т.к. а_В = 0) откладываем вектор нормального ускорения параллельно звену АВ вниз и, далее проводим линию действия тангенциального ускорения а^t_А3В перпендикулярно звену АВ. На пересечении линий действия релятивного и тангенциального ускорений получается точка а₃. Точку d находим аналогично плану скоростей по правилу подобия. Из пропорции (2.43) определяем отрезок [ Р_аd ] и откладываем его на продолжении вектора [ Р_аа₃ ]. Находим действительные значения всех линейных ускорений:

а_А3 = [Р_аа₃] μ_а = (м/с²);

а_D = [P_аd] μ_а = (м/с²); (2.50)

а^t_А3В = [n₁а₃] μ_а =(м/с²).

Определяем величину углового ускорения кулисы 3:

ξ₃ = а^t_А3В /ℓ_АВ = (с^-2). (2.51)

Для определения направления ξ₃ нужно вектор тангенциального ускорения а^t_А3В приложить в точку А на механизме и посмотреть, в какую сторону точка А вращается относительно точки В. Видно, что направление ξ₃ получилось против часовой стрелки (рисунок 2.8).

Построение планов скоростей и ускорений 2, 4 и 5-го видов рассмотрим более кратко.

Задача 3. Кинематический анализ структурной группы

II класса 2 вида

Исходные данные для расчета:

ℓ_АВ (м) – длина шатуна; υ_А (м/с), а_А (м/с²) – скорость и ускорение внешнего шарнира (величина и направление); υ_В4 = 0, а_В4 =0.

Определить: υ_В (м/с), а_В (м/с²) – скорость и ускорение ползуна В; ω₂, ξ₂ - угловую скорость и угловое ускорение шатуна 2.

Решение. Построение плана скоростей. Высчитываем масштабный коэффициент μ_υ плана скоростей по формуле (2.30) и затем составляем систему векторных уравнений для нахождения скорости точки В:

υ_В = υ_А + υ_ВА ^ АВ;

υ_В = υ_В4 + υ_ВВ4 êêх-х. (2.52)

Из полюса P_υ проводим вектор скорости точки А, направление и величина которого известны. Затем из точки а на плане скоростей проводим линию действия скорости υ_ВА ^АВ, а из полюса, т.к. υ_В4 = 0, проводим линию êêх-х. На пересечении этих линий получаем точку в (рисунок 2.9). Действительные значения скоростей в м/с получаем, замеряя соответствующие отрезки и умножив их на масштабный коэффициент:

υ_В = [P_υв]μ_υ, υ_ВА = [ав] μ_υ.

а) б) в)

υ_В а_В

А Р_υ в Р_а в

2 υ_А а_А

1 ω₂ ξ₂ а^t_ВА

а_А В 3 4 υ_ВА n_ВА

υ_А х х а аⁿ_ВА а

а - схема структурной группы; б - план скоростей; в - план ускорений

Рисунок 2.9 - К кинематическому анализу структурной группы II класса 2 вида

Угловая скорость определяется по формуле:

ω₂ = υ²_ВА /ℓ_АВ =(с^-1).

Построение плана ускорений начинается с расчета масштабного коэффициента по формуле (2.35). Затем считается нормальное ускорение аⁿ_ВА по формуле (2.38) и его чертежное значение по формуле (2.39). Кориолисово ускорение в данном случае равняется нулю (а^к_ВВ4 = 2 ω₃ υ_ВВ4 = 0, т.к. ω₃ = 0). Тангенциальное ускорение перпендикулярно звену АВ, относительное (релятивное) ускорение направлено параллельно движению ползуна В (êêх-х).

Векторные уравнения для ускорения точки В имеют вид:

а_В = а_А+ аⁿ_ВА+ а^t_ВА ^ АВ

а_В = а_В4 + а^к_ВВ4 + а^r_ВВ4 êê х-х.

Из полюса Р_а проводим вектор ускорения точки А. Затем из конца вектора ускорения а_А проводим вектор нормального ускорения аⁿ_ВА êêАВ к точке А - получается точка n_ВА. Из точки n_ВА проводим перпендикуляр к звену АВ, а из полюса Р_а – горизонтальную линию, т.е. вектор релятивного ускорения. Действительные значения ускорений определяются аналогично формулам (2.40), а угловое ускорение ξ₂ – по формуле (2.41).

Задача 4. Кинематический анализ структурной группы

II класса 4 вида

Исходные данные для расчета: υ_D3 (м/с), υ_D6 = 0; а_D3 (м/с²), а_D6 = 0; ω₃, ξ₃.

Определить: υ_D5 (м/с), а_D5 (м/с²).

Решение. Построение плана скоростей. В точке D соединяются четыре звена (3 - кулиса, 4 - кулисный камень, 5 - ползун, 6 - опора). Поэтому будет четыре точки: D₃, D₄, D₅, D₆. При этом υ_D3 ¹ υ_D4 ,υ_D5 ¹ υ_D6 - т.к. поступательные кинематические пары; υ_D4 = υ_D5 - т.к. вращательная кинематическая пара; ω₅ = ω₆ = 0, ξ₅ = ξ₆ =0 - т.к. 5-ое звено движется поступательно, а 6-ое звено неподвижно (опора).

а) б) в)

у d_4,5 υ_D5 P_υ d_4,5 а_D5 P_а

D (D₃, D₄, D₅, D₆) а_D4D3

3 5 6 а^r_D4D3 а_D3

х 4 х υ_D3D4 υ_D3 d₃

d₃ k а^к_D4D3

υ_D3 а_D3 у

ω₃, ξ₃

а – структурная группа; б - план скоростей; в - план ускорений

Рисунок 2.10 - К кинематическому расчету структурной группы II класса 4 вида

После расчета масштабного коэффициента скорости по формуле

μ_υ = υ_D3 / [ P_υd₃ ] (2.53)

записываются векторные уравнения скоростей:

υ_D4 = υ_D3 + υ_D4D3 êêу-у

υ_D5 = υ_D6 + υ_D5D6 êêх-х. (2.54)

Из полюса P_υ откладывается заданное направление вектора скорости точки D₃. Затем из точки d₃ проводится линия, параллельная у-у, а из полюса – линия, параллельная х-х (рисунок 2.10). На пересечении получается точка d₄ = d₅. После построения высчитываются действительные значения скоростей:

υ_D3D4 = [d₃d₄] μ_υ; υ_D5 = [P_υd₅] μ_υ= (м/с). (2.55)

Построение плана ускорений начинается с расчета масштабного коэффициента

μ_а = а_D3 / [ Р_аd₃ ] = (). (2.56)

Векторные уравнения имеют вид:

а_D4 =а_D3 + а^к_D4D3 + а^r_D4D3 || у-у

а_D5 = а_D6 + а^к_D5D6 + а^r_D5D6 || х-х. (2.57)

Кориолисово ускорение высчитывается по формуле:

а^к_D3D4 = 2 ω₄ υ_D3D4; а^к_D5D6 =0. (2.58)

Вектор а ^к_D3D4 направлен перпендикулярно 3-му звену в сторону угловой скорости ω₃; релятивные ускорения направлены параллельно осям у-у и х-х. После построения высчитываются действительное значение ускорения

а_D4,5 = [P_аd₅]µ_а = (м/с²). (2.59)

Задача 5. Кинематический анализ структурной группы

II класса 5 вида

Исходные данные: υ_D3, υ_D6 = 0; ω₃ = ω₆ = 0; а _D3 = а _D6 = 0.

Определить: υ_D5, а _D5.

Решение. Построение плана скоростей. Также как и в Задаче 4, в точке D соединяются четыре звена. Поэтому будут четыре точки: D₃, D₄, D₅, D₆ (рисунок 2.11). После расчета масштабного коэффициента скорости по формуле (2.30) записываются векторные уравнения-формулы (2.54). Построение плана скоростей ведется аналогично Задаче 4. Угловые скорости звеньев 4 и 5 равны нулю, т.к. они движутся поступательно (ω₄ = ω₅ = 0). Рассчитывается скорость точки D₅ по формуле (2.54). Строится план ускорений. Высчитывается масштабный коэффициент плана ускорений по формуле (2.56). Затем записываются векторные уравнения – формулы (2.57). В данном случае кориолисово ускорение а^к_D3D4 = 0, т.к. ω₄ = 0.

Построение плана ускорений ведется аналогично Задаче 4. В конце рассчитывается ускорение точки D₅ по формуле (2.59).

а) б) в)

х

у 6 5 у υ_D5 а _D5

P_υ d₅ d₅ P_a

D(D₃,D₄,D₅,D₆) 4 υ_D3 υ_D5D3 а _D5D3 а _D3

3 υ_D3 d₃ d₃

a _D3

х

а – структурная группа; б - план скоростей; в - план ускорений

Рисунок 2.11 - К кинематическому расчету структурной группы II класса 5 вида

Дата добавления: 2014-01-20