Определение двойного интеграла

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ЛЕКЦИЯ 1

Двойные интегралы. Определение двойного интеграла и его свойства. Повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.

Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f (x,y) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y = f (x) или x =g(y), где f (x) и g (y) – непрерывные функции.

Разобьем область D произвольным образом на n частей. Площадь i -го участка обозначим символом D s_i. На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку P_i, и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты (x_i,y_i). Составим интегральную сумму для функции f (x,y) по области D, для этого найдем значения функции во всех точках P_i, умножим их на площади соответствующих участков Ds _i и просуммируем все полученные результаты:

. (1.1)

Назовем диаметром diam (G) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области.

Двойным интегралом функции f (x,y) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1.1) при неограниченном увеличении числа разбиений n (при этом ). Это записывают следующим образом

. (1.2)

Заметим, что, вообще говоря, интегральная сумма для заданной функции и заданной области интегрирования зависит от способа разбиения области D и выбора точек P_i. Однако если двойной интеграл существует, то это означает, что предел соответствующих интегральных сумм уже не зависит от указанных факторов. Для того чтобы двойной интеграл существовал (или, как говорят, чтобы функция f (x,y) была интегрируемой в области D), достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной в заданной области интегрирования.

Пусть функция f (x,y) интегрируема в области D. Поскольку предел соответствующих интегральных сумм для таких функций не зависит от способа разбиения области интегрирования, то разбиение можно производить при помощи верти­кальных и горизонтальных линий. Тогда большинство участков области D будет иметь прямоугольный вид, площадь которых равна D s_i =D x_i D y_i. Поэтому дифференциал площади можно записать в виде ds=dxdy. Следовательно, в декартовой системе координат двойные интегралы можно записывать в виде

. (1.3)

Замечание. Если подынтегральная функция f (x,y)º1, то двойной интеграл будет равен площади области интегрирования:

. (1.4)

Отметим, что двойные интегралы обладают такими же свойствами, что и определенные интегралы. Отметим некоторые из них.

Свойства двойных интегралов.

1⁰. Линейное свойство. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:

;

и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

2⁰. Аддитивное свойство. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части:

.

3⁰. Теорема о среднем. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка (x,h), что:

.

Далее возникает вопрос: как вычисляются двойные интегралы? Его можно вычислить приближенно, с этой целью это разработаны эффективные методы составления соответствующих интегральных сумм, которые затем вычисляются численно при помощи ЭВМ. При аналитическом вычислении двойных интегралов их сводят к двум определенным интегралам.

Дата добавления: 2014-01-20