Замена переменной в неопределенном интеграле

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Рассмотрим функцию t=φ(x), где φ(x) – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на данном промежутка функция. Если на соответствующим промежутке изменения t функции f(t), интегрируема, то

Действительно, пусть F(t) первообразная для f(t):

Тогда функция будет первообразной для функции

Отсюда следует, что

Формула:

(1)

Заменяя по формуле (1) переменную интегрирования в интеграле некоторой переменной x: t=φ(x), мы сведем нахождение данного интеграла к нахождению интеграла .

После нахождения интеграла надо вместо t подставить его в выражение через x.

Пример. Найти интеграл .

Обозначим через t=x-1.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Обозначим , тогда и, следовательно,

2. . Обозначим , тогда и, значит

3. . Применим подстановку , тогда

Аналогично берутся интегралы от и т. д.

В приведенных выше примерах метод замены переменной быстро привел к цели. Однако удачный выбор новой переменной обычно представляет известные трудности. Для их успешного преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования, уметь «прикидывать», что даст та или иная подстановка, и твердо знать табличные интегралы.

Дата добавления: 2014-01-20