Лекция № Финансовые ресурсы предприятия

Некоторые приложения тройных интегралов

Кратко рассмотрим типичные задачи применения тройных интегралов, ограничившись приведением необходимых формул, так как их вывод аналогичен выводу соответствующих формул в случае двойного интеграла.

1) Если дано некоторое тело с плотностью , представляющей собой непрерывную функцию, то масса тела вычисляется по формуле:

.

2) Моменты инерции тела с плоскостью определяется следующими формулами:

;

;

.

Момент инерции относительно начала координат вычисляется по формуле:

.

3) Координаты центра масс определяются следующими формулами:

;

;

,

где , , – координаты центра масс, а - масса данного тела. В частности, если рассматриваемое тело однородно, то есть , то выражение для координат центра масс упрощается и принимает вид:

;

;

,

где - объем данного тела.

4) Объем тела вычисляется по формуле:

.

Тройные интегралы в некоторых случаях более удобны для вычисления объемов, чем двойные, так как с их помощью можно вычислять объем не только криволинейных цилиндров, но и других тел.

Пример. Определить координаты центра масс первой половины однородного шара радиуса с центром в начале координат.

Решение: данный полушар ограничен поверхностями и .

В силу симметрии полушара . Координата определяется по формуле:

Ответ: , .

Дата добавления: 2014-01-20