По переменному верхнему пределу

Производная интеграла

Докажем следующее равенство:

(2.1)

¨ Рассмотрим интеграл (а) дающий площадь криволинейной трапеции на участке (рис.2.1). Если будем перемещать точку будет меняться и площадь При смещении от точки на раcстояние как показано на рис. 2.1, Рис. 2.1

добавится площадь поэтому

(а) ■

Равенство (2.1) будет использовано при выводе формулы (4.1).

Тренировка по теме

«Производная интеграла по переменному верхнему пределу»

1. а) Найдите производную от функции

1) 2) 3) 4) 5)

б) Найдите производную по переменной от функции

1) 2) 3) 4) 5)

3. Знак двойной подстановки

Далее будем применять символ – знак двойной подстановки:

(3.1)

Примеры: = 2³–1³ = 7,

Из (3.1) получаются следующие свойства знака двойной подстановки:

	Аргумент можно обозначать любой буквой.	(3.2)
=		(3.3)
=		(3.4)
	Здесь	(3.5)
		(3.6)

¨ Доказательство этих равенств элементарно. Чтобы убедиться в этом, покажем доказательство формул (3.2) и (3.6).

В правой части выражения (3.1) отсутствует аргумент Поэтому аргумент левой части вы можете обозначать любой буквой. Так получается равенство (3.2).

Доказательство равенства (3.6):

■

Тренировка по теме «Знак двойной подстановки»

1. Найдите значения.

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

2. Найдите значения и убедитесь в справедливости равенства (3.3).

1) и 2) и 3) и 4) и 5) и

3. Найдите значение

1) 2) 3) 4) 5)

4. Связь определённого интеграла с неопределённым

Теперь докажем формулу, означающую, что определённый интеграл можно вычислить с помощью неопределённого:

Формула Ньютона-Лейбница.

(4.1)

¨ (2.1) (а)

Проинтегрируем обе части:

= = (1.5) = (б)

Левый интеграл обозначим т. е. пусть (в)

(б) = (г)

(г) = т. е. (д)

(г) = отсюда

= (д) =(3.1)= (в) = ■

З а д а ч а 1. Вычислите .

□ = (4.1) == . ■

Тренировка по теме «Связь определённого интеграла с неопределённым»

Вычислите определённые интегралы.

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

Дата добавления: 2014-01-20