Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вычисление площадей плоских фигур




Как было установлено, площадь области интегрирования D может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле

(1.16)

Эта формула более универсальна, чем соответствующая формула, выражающая площадь криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла, т.к. данная формула применима не только к криволинейным трапециям, но и к фигурам, расположенным произвольно по отношению к координат­ным осям. В частности, если фигура ограничена двумя кривыми y = f 1(x) и y = f 2(x) и двумя прямыми x=a и x=b (см. рис. 1.16), то получим формулу

.

Это есть формула вычисления площадей плоских фигур при помощи определенных интегралов.

Пример 1.9. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями x 2= y, x 2=4 y, y =4.

Решение. Изобразим данную фигуру (рис. 1.17). Видно, что полученная фигура состоит из двух одинаковых областей: D 1 и D 2. следовательно

.

Интегрирование во внешнем интеграле будем производить по переменной y (в противном случае область интегрирования пришлось бы разбивать на две части). Тогда переменная y будет изменяться от 0 до 4, а переменная x, соответственно, от параболы до параболы . В результате получаем

.

В случае полярной системы координат площадь плоской фигуры вычисляется при помощи интеграла

(1.17)

В частности, если область интегрирования имеет вид, изображенный на рис. 1.18, то получим

.

Это есть известная формула вычисления площадей при помощи определенных интегралов в полярной системе координат.

Пример 1.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение. Запишем уравнение линии в полярной системе координат

,

т.е.

.

Построим эту линию (рис. 1.19). Поскольку полученная формула симметрична относительно осей Ox и Oy, то достаточно вычислить площадь четвертой части этой фигуры, а затем умножить полученный результат на 4:

.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 548; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.