Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Замена переменных в двойном интеграле. Пусть имеются две плоскости с выбранными на них прямоугольными декартовыми системами координат XOY и UOV




 

Пусть имеются две плоскости с выбранными на них прямоугольными декартовыми системами координат XOY и UOV. Рассмотрим в этих плоскостях две замкнутые области: область D на плоскости XOY и область s на плоскости UOV, и предположим, что функции:

 

 

устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками этих областей.

Пусть функции j(U,V) и y(U,V) непрерывны в области s вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда определитель

 

 

будет непрерывной функцией переменных U и V, определенных в области s. Этот функциональный определитель, называемый определителем Якоби или якобианом отображения (1), принято обозначать J (U,V) или символом . Абсолютная величина Якобиана играет роль коэффициента плоскости UOV при преобразовании ее в плоскость XOY.

 

 

Рассмотрим двойной интеграл

 

 

от непрерывной функции в заданной области D, ограниченной кусочно-гладкой линией.

 

Поставим своей целью заменить двойной интеграл по переменным х и у (по области D) равным ему двойным интегралом по переменным U и V (по области s).

Эта цель достигается с помощью формулы замены переменной в двойном интеграле:

 

.

 

Применим эту формулу при переходе к полярным координатам: x=r cosa; y=r sina.

 

Вычислим Якобиан:

 

О(r,х)===rcos2a+rsin2a=r.

В итоге получим формулу перехода к полярным координатам

Пример. Вычислить интеграл Пуассона . Для вычисления рассмотрим двойной интеграл , где D- четверть круга радиуса R, расположенная в первом квадранте. Преобразуем его к полярным координатам:

 

.

 

Предположим, что R®+¥, т.е. область D расширяясь заполняет весь первый квадрант. По аналогии с несобственным интегралом от функции одной переменной запишем

 

(*)

 

Примем теперь в качестве области D квадрат 0£x£a; 0£y£a, тогда

 

.

 

Т.к. величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, то полученное выражение равно . Устремляя a®¥ получим:

 

(**).

 

Сравнивая равенства (*) и (**) получим

 

или и окончательно .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 487; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.