Метод вычеркивания

Метод неопределенных коэффициентов

Найдем разложение на простейшие дроби для .

Общий вид разложения в этом случае

.

Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, имеем

x²-1=A(x²+1)²+(Bx+C)x+(Dx+E)(x²+1)x

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

поэтому искомое разложение имеет вид:

.

Пусть знаменатель Q(x) правильной рациональной дроби имеет вещественное число а корнем кратности a. Тогда среди простейших дробей, на сумму которых раскладывается дробь , есть дробь . Коэффициент , где .

Правило: для вычисления коэффициента А при простейшей дроби , соответствующей вещественному корню а многочлена Q(x) кратности a, следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку и в оставшемся выражении положить х=а. Отметим, что этот прием применим лишь для вычисления коэффициентов при старших степенях простейших дробей, соответствующих вещественным корням Q(x).

Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда знаменатель Q(x) имеет лишь однократные вещественные корни, т.е. когда

Q(x)=(x-a₁)(x-a₂)×... ×(x-a_n). Тогда справедливо представление

,

все коэффициенты которого могут быть вычислены по методу вычеркивания. Для вычисления коэффициента А_к следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку (х-а_к) и в оставшемся выражении положить х=а_к.

Найти разложение дроби

Отсюда

Замечание. Метод вычеркивания снижает трудоемкость вычислений и в более сложных случаях.

Разложить правильную дробь

на простейшие дроби.

x²+1 имеет комплексные корни Þ

Метод неопределенных коэффициентов приводит к системе 5-го порядка. Если же В определить методом вычеркивания, то система будет уже только 4-го порядка.

Дата добавления: 2014-01-20