Примеры. Интегрирование некоторых классов функций

Интегрирование некоторых классов функций

1.6.8.1. Интегрируемость рациональной дроби

Прежде всего отметим, что всякую неправильную рациональную дробь можно (посредством деления числителя на знаменатель “уголком”) представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример.

Остаток 1+4х

Интегрировать многочлен мы умеем. В силу теоремы о разложении правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на простейшие, вопрос сводится к интегрированию простейших дробей:

1. II. III.

IY.

Здесь b=2,3,...; l=2,3,...; В, М, N, b, p, q - некоторые вещественные числа, причем трехчлен х²+px+q не имеет вещественных корней, т.е.

p²-4q<0.

I.

II.

Здесь t=x-b

III.

Положим

Произведя подстановку , будем иметь

IY. Аналогично III получаем

Обозначим . Установим для этого интеграла рекуррентную формулу

Для вычисления последнего интеграла применим формулу интегрирования по частям, полагая в ней u=t, du=dt

Отсюда

Используя рекуррентную формулу, вычислим К₂, K₃,... и т.д.

Замечание. На практике К_l чаще вычисляют непосредственно с помощью подстановки t=a×tgu

1.

,

2. Вычислим .

Согласно общему правилу, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель; получим

.

Правильную рациональную дробь разложим на простейшие

,

отсюда

Дата добавления: 2014-01-20