Введение. Разработаны в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ

Разработаны в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ

Волгодонск 2010 г.

Сопротивление материалов – это экспериментально-теоретическая наука, занимающаяся изучением прочности, жёсткости и устойчивости простейших конструкций и их элементов.

Сопротивление материалов представляет собой одно из направлений механики деформируемого твёрдого тела, В отличие от теоретической механики, где рассматривают абсолютно твёрдые тела, в сопротивлении материалов тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, то есть деформируются.

Рассмотрим простейшую конструкцию, рис. 1.

Рис. 1. Жёсткий брус АС, опирающийся на наклонную стойку ВС.

При нагружении этой конструкции сосредоточенной силой F, стойка укоротиться на некоторую величину, деформируется, сохранив при этом прямолинейную форму равновесия, рис. 1а. При небольшой нагрузке, после снятия воздействия, деформации исчезнут, и элементы конструкции восстановят свои размеры. Повторяя эту процедуру при увеличивающейся нагрузке, начиная с некоторого значения F, обнаружим, что часть деформаций исчезнет, а часть останется.

Деформации, которые исчезают после снятия нагрузки, называют упругими.

Деформации, которые остаются в материале после снятия нагрузки, называют остаточными или пластическими.

Обычно появление пластических деформаций приводит к нарушению условий нормальной эксплуатации конструкции и поэтому недопустимо.

В сопротивлении материалов рассматривают три класса задач – прочности, жёсткости и устойчивости.

Первый класс задач – задачи прочности. Под прочностью конструкции понимают её способность сопротивляться внешним воздействиям без появления опасного состояния. Понятие опасного состояния будет сформулировано позже, когда будет введено понятие механических напряжений. Опасное состояние будет зависеть от материала, из которого изготовлены элементы конструкции.

Второй класс задач – задачи жёсткости. Жёсткость конструкции – это её способность сопротивляться внешним воздействиям без появления недопустимых деформаций. Например, по условиям эксплуатации брус не должен касаться ветви трубопровода, то есть перемещение f не должно превышать заданного значения, рис. 1,б.

Третий класс задач – задачи устойчивости. Различают устойчивость положения конструкции в пространстве (пример – опрокидывание автомобильного крана) и устойчивость формы равновесия (пример – линейка, упирающаяся в стол и сжимаемая увеличивающейся продольной силой). В дальнейшем под устойчивостью конструкции будем понимать устойчивость формы равновесия конструкции или её элементов. Нарушение устойчивости связывают с появлением качественно новых форм равновесия. В нашей конструкции, при превышении нагрузкой некоторого значения стойка примет изогнутую форму равновесия, рис.1,б.

Сопротивление материалов – это наука, методами которой находят размеры и формы элементов конструкций, обеспечивающих им прочность, жёсткость и устойчивость при наименьших затратах материалов, идущих на их изготовление. В этом смысле задачи сопротивления материалов противоречивы.

Глава 1. Геометрические характеристики плоских сечений

1.1. Понятие о геометрических характеристиках сечения

Для оценки прочности инженерных конструкций в курсе сопротивления материалов и механики деформируемого твёрдого тела изучают связи между силами, действующими на элементы конструкции и деформациями. Основные задачи - расчёт элементов конструкций на прочность, жёсткость и устойчивость. Эти задачи решают не в любой, а в специально выбранной главной, центральной системе координат с использованиемспецифических геометрических характеристик поперечных сечений элементов конструкций.

Рассмотрим два положения стержня, жестко закреплённого одним торцом (рис 1.1):

F

F

Рис. 1.1.

Стержень нагружен силой F, проходящей через центр тяжести незакрепленного сечения. Очевидно, что в первом случае стержень выдержит большую нагрузку, хотя площади сечений и длины стержней одинаковы. Следовательно, для оценки прочности, жесткости и устойчивости стержня помимо площади сечения необходимы какие-то дополнительные геометрические характеристики сечения.

К этим геометрическим характеристикам относят статические моменты сечения, осевые, полярный и центробежный моменты инерции сечения.

1.2. Статические моменты сечения

Рассмотрим сечение произвольной формы и введем декартовую систему координат (рис.1.2).

Y

М(x;y)

dA

y

r

x X

Рис. 1.2.

Статическим моментом сечения относительно оси х называют величину S_x, определяемую по формуле

(1.1)

где у – ордината текущей точки сечения; dA – элементарная площадка плоского сечения, имеющего площадь А; dA и А считаем положительными.

Аналогично определяют статический момент S_y:

. (1.2)

Заметим, что: 1) правая часть равенств (1.1) и (1.2) представляют собой поверхностные интегралы первого типа и интегрирование выполняется по всей площади сечения; 2) единицы измерения величин, S_x и S_y - м³ , у – м, dA – м² ; 3) знаки величин S_x и S_y зависят от положения осей х и у соответственно (например, ось х ниже сечения S_x > 0; ось х выше сечения S_x < 0).

1.3. Изменение статических моментов при параллельном переносе осей системы координат.

Выясним, как изменяются статические моменты при параллельном переносе осей. Координаты произвольной точки в системах координат x₁o₁y₁ и x₂o₂y₂ связаны равенствами (рис. 1.3):

; (1.3)

. (1.4)

Y₂ Y₁

в

y₂ y₁ М

X₁

О₁ x₁ a

O₂

x₂ X₂

Рис.1.3.

Тогда в новой системе координат О₂х₂y₂ получим

,

Т. е. при параллельном переносе осей в соответствии с формулами (1.3), (1.4) для статических моментов имеем:

; (1.5)

. (1.6)

Из замечания 3) и равенств (1.5), (1.6) следует, что существует такое положение осей, при котором статические моменты равны нулю. Эти оси проходят через центр тяжести сечения и называются центральными. Координаты центра тяжести определяют по формулам:

. (1.7)

Для некоторых фигур с известным положением центра тяжести из равенств (1.7) получаем возможность вычисления статических моментов:

. (1.8)

1.4. Моменты инерции сечения.

Следующая группа интегральных геометрических характеристик сечения – это моменты инерции.

Осевым моментом инерции сечения относительно оси х называют величину , определяемую по формуле

. (1.9)

Здесь обозначения соответствуют рис.2. Аналогично определяют :

. (1.10)

Осевые моменты иногда называют экваториальными.

В полярной системе координат расстояние до произвольной точки М (рис.1.2) связано с текущими координатами равенством

. (1.11)

Полярным моментом инерции сечения относительно полюса О называют величину

. (1.12)

В соответствии с соотношением (1.11) и аддитивностью интеграла, получаем очевидное равенство:

. (1.13)

Центробежным моментом инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей x и y называют величину

. (1.14)

Отметим, что: 1) единицы измерения , , , , м⁴; 2) подинтегральные выражения в равенствах (1.9), (1.10), (1.12) – неотрицательны. Значит осевые , и полярный моменты всегда положительны, хотя их величины зависят от выбранной системы координат. Знак и величина центробежного момента зависят от выбранной системы координат. Например, на рис. 1.4 для всех точек сечения х>0, y>0 и >0, а на рис. 1.5 x<0, y > 0 и <0.

Y Y

X X

Рис. 1.4 Рис. 1.5

Систему координат, в которой центробежный момент равен нулю, называют главной. Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось есть главная ось сечения.

1.5. Изменение моментов инерции сечения при параллельном переносе осей системы координат.

Выясним, как изменяются моменты инерции при параллельном переносе осей по формулам (1.3), (1.4). Для вывода формулы воспользуемся определением осевого момента инерции:

. (1.15)

Аналогично получаем:

; (1.16)

. (1.17)

При переходе от центральных осей формулы (1.15)-(1.17) упрощаются, так как для центральных осей S_x1 и S_y1 =0:

; (1.18)

; (1.19)

. (1.20)

Из равенств (1.18), (1.19) следует, что из бесчисленного множества осевых моментов инерции относительно параллельных осей центральные моменты инерции имеют минимальные значения.

1.6. Изменение моментов инерции сечения при повороте осей системы координат на произвольный угол.

При повороте осей на некоторый угол a (рис. 1.6), имеем

;

.

Y₁

X₂

Y₂

a

X₁

Рис. 1.6.

Для вывода формулы воспользуемся определением осевого момента инерции. Тогда для моментов инерции получим:

или

. (1.21)

Аналогично получим

; (1.22)

. (1.23)

Сложив равенства (1.21), (1.22) и учтя основное тригонометрическое тождество, получим инвариант при повороте осей:

.

То есть сумма осевых моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через один полюс, есть величина постоянная. Но в силу этого должен существовать такой угол a, при котором один осевой момент достигнет максимума, другой минимума.

Определим экстремальные значения моментов инерции при повороте осей:

.

Откуда находим

(1.24)

т. е. при

достигаются экстремальные значения моментов инерции (угол a положителен, если отсчитывается против часовой стрелки).

С помощью известных тригонометрических равенств

,

подставив выражение (1.24), исключим a из равенств (1.21), (1.22)

(опустив индекс 1):

,

тогда центробежный момент в равенстве (1.23) с учетом соотношения (1.24) станет равным нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, а осевые моменты инерции принимают один максимальное, а другой минимальное значения, называют главными осями.

В силу этого, а также свойства центральных осей все задачи прочности, жесткости и устойчивости решают в главных центральных осях.

Поскольку на практике часто используют составные стержни, то

.

Но так как интеграл по сумме площадей равен сумме интегралов по каждой площади, то формулы (1.7), (1.8) для центра тяжести примут вид:

; , (1.25)

а формулы (1.18) – (1.20) для моментов инерции сечения при переходе к центральным осям сечения будут выглядеть следующим образом:

; (1.26)

; (1.27)

. (1.28)

Если часть сечения удаляется, то в равенстве (1.25) соответствующее A_i отрицательное, а в равенствах (1.26) – (1.28) i -е слагаемое вычитается.

Дата добавления: 2014-01-20