Некоторые сведения о MathCad

В настоящее время заслуженную популярность приобретают интегрированные системы для автоматизации математических расчетов MathCad. Эта система математического обеспечения принадлежит к наиболее сложным системам автоматического проектирования. Однако, несмотря на сложность системы, описание решения математических задач реализуется с помощью привычных математических формул и знаков, поэтому применим её для решения задач сопротивления материалов.

Глава 2. Общие понятия

2.1. Реальный объект и расчетная схема. Основные предпосылки.

В сопротивлении материалов исследование вопроса о прочности или жесткости ре­ального объекта начинается с выбора расчетной схемы. Расчетная схема конструкции - это её модель, освобожденная от не­существенных в данной задаче особенностей. Выбор расчетной схе­мы начинается со схематизации свойств материалов сооружения.

Основные предпосылки.

1. В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от их микроструктуры. Под однородностью материала понимают независимость его свойств от величины выделенного из тела объема. И хотя в действительности реальный материал, как правило, неоднороден (уже в силу его молекулярного строения), тем не менее, указанная особенность не является существенной, поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются конструкции, размеры которых суще­ственно превышают не только межатомные расстояния, но и раз­меры кристаллических зерен. Это справедливо и для такого широко применяемого в строительстве материала как бетон. С понятием однородности тесно связано понятие сплошнос­ти среды, под которым подразумевают тот факт, что материал конструкции полностью заполняет весь отведенный ему объем, а значит, в теле конструкции нет пустот.

2. Под действием внешних сил реальное тело меняет свои геомет­рические размеры. После снятия нагрузки геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются. Свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры после разгрузки называется упругостью. При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал конструк­ций абсолютно упругий.

3. Обычно сплошная среда принимается изотропной, т.е. пред­полагается, что свойства тела, выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Отдельно взятый кристалл материала анизотропен, но т.к. в объеме реального тела содержится бесконечно большое количество хаотично расположенных кристал­лов, принимается, что материал изотропен.

При выборе расчетной схемы вводятся упрощения и в геомет­рию реального объекта. Основным упрощающим приемом в сопро­тивлении материалов является приведение геометрической формы тела к схемам бруса (стержня) или оболочки. Как известно, любое тело в пространстве характеризуется тремя измерениями. Брусом называется геометрический объект, одно из измерений которого (длина) много больше двух других. Геометрически брус может быть образован путем перемеще­ния плоской фигуры вдоль некоторой кривой, как это показано на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Эта кривая называется осью бруса, а плоская замкнутая фигура, распола­гающая свой центр тяжести на оси бруса и нормальная к ней, называется его поперечным сечением. Брус может иметь как постоянное, так и переменное поперечное сечение. Многие сложные конструкции на практике рассматриваются как комбинации элементов, имеющих форму бру­са, поэтому в настоящей книге преимущественно рассматриваются методы расчета бруса как основного геометрического объекта изучения науки со­противления материалов. Второй основной геометрической фор­мой, рассматриваемой в сопротивлении материалов, является обо­лочка, под которой подразумевается тело, у которого одно из измерений (толщина) намного меньше, чем два других.

Для соединения отдельных частей конструкции между собой и передачи внешней нагрузки на основание на нее накладываются связи, ограничивающие перемещения тех точек сооружения, к ко­торым они приложены. Связи могут ограничивать либо повороты точек сооружения, либо их линейные смещения, либо и то и дру­гое.

2.2. Внешние и внутренние силы. Метод сечений

Силы являются мерилом механического взаимодействия тел. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действие последних на нее заменяется силами, которые на­зываются внешними. Внешние силы, действующие на тело, мож­но разделить на активные (независимые) и реактивные. Реак­тивные усилия возникают в связях, наложенных на тело, и опреде­ляются действующими на тело активными усилиями.

По способу приложения внешние силы делятся на объемные и поверхностные.

Объемные силы распределены по всему объему рассматривае­мого тела и приложены к каждой его частице. В частности, к объ­емным силам относятся собственный вес сооружения, магнитное притяжение или силы инерции. Единицей измерения объемных

сил является сила, отнесенная к единице объема - кН/м³.

Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и являются результатом непосредственного контактного взаимодействия рас­сматриваемого объекта с окружающими телами. В зависимости от соотношения площади приложения нагрузки и общей площади поверхности рассматриваемого тела, поверхностные нагрузки под­разделяются на сосредоточенные и распределенные. К первым от­носятся нагрузки, реальная площадь приложения которых несоиз­меримо меньше полной площади поверхности тела (например, воз­действие колонн на фундаментную плиту достаточно больших раз­меров можно рассматривать как действие на нее сосредоточенных усилий). Если же площадь приложения нагрузки сопоставима с площадью поверхности тела, то такая нагрузка рассматривается как распределенная. Сосредоточенные усилия измеряются в кН, а рас­пределенные - кН/м².

Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характе­ризуется внутренними силами, которые возникают внутри тела под действием внешних нагрузок и определяются силами межмоле­кулярного воздействия.

Величины внутренних усилий определяются с применением метода сечений, суть которого заключается в следующем. Если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия.

Рассмотрим тело, имеющее форму бруса (рис. 2.2, а).

Рис. 2.2

Пусть к нему приложена некоторая система внешних сил Р ₁, Р ₂, Р ₃,..., Р_n, удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при дейст­вии указанных внешних сил тело находится в состоянии равнове­сия.

Если рассечь брус сечением А на две части и правую отбросить, то, т.к. связи между частями тела устранены, необходимо действие правой (отброшенной) части на левую заменить некоей системой внутренних сил (P_А ), действующей в сечении А (рис. 2.2, б).

Обозначая через P_лев и Р_прав суммы внешних сил, приложен­ных соответственно, к левой и правой частям бруса (относительно сечения А), и учитывая, что

P_лев + Р_прав = 0 (2.1)

для отсеченных частей бруса получим следующие очевидные соот­ношения:

Р_лев + P_A = 0; Р_прав - P_A = 0. (2.2)

Последние соотношения показывают, что равнодействующая внутренних сил Р_А в сечении А может определяться с равным успе­хом из условий равновесия либо левой, либо правой частей рассе­ченного тела. В этом суть метода сечений.

Внутренние усилия должны быть так распределены по сече­нию, чтобы деформированные поверхности сечения А при совме­щении правой и левой частей тела в точности совпадали. Это тре­бование в механике твердого деформируемого тела носит название условия неразрывности деформаций.

Воспользуемся правилами статики и приведем систему внут­ренних сил Р_А к центру тяжести сечения А в соответствии с прави­лами теоретической механики. В результате получим главный век­тор сил и главный вектор момента (рис. 2.3). Далее выбира­ем декартову систему координат xyz с началом координат, совпада­ющим с центром тяжести сечения А. Ось z направим по нормали к сечению, а оси x и y расположим в плоскости сечения. Спроекти­ровав главный вектор сил и главный момент на координат­ные оси x, y, z, получаем шесть составляющих: три силы N_z , Q_x , Q_y и три момента M_z , M_x , M_y , называемых внутренними силовы­ми факторами в сечении бруса.

Составляющая N_z называется нормальной, или продольной си­лой в сечении. Силы Q_x и Q_y называются поперечными усилиями. Момент M_z называется крутящим моментом, а моменты M_x и M_y -изгибающими моментами относительно осей x и y, соответственно.

При известных внешних силах все шесть внутренних силовых

факторов в сечении определяются из шести уравнений равновесия,

которые могут быть составлены для отсеченной части.

Пусть R^*, M^* - результирующая сила и результирующий момент действующие на отсеченной части тела. Если тело при действии полной системы внешних сил находится в равновесном состоянии, то условия равновесия отсеченной части тела имеет вид:

(2.3)

Последние два векторные уравнения равновесия дают шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовых осях координат:

(2.4)

которые в общем случае составляют замкнутую систему алгебраических уравнений относительно шести неизвестных внутренних усилий: Q_x, Q_y, N_z, M_x, M_y, M_z.

Следовательно, если полная система внешних сил известна, то по методу сечений, всегда можно определить все внутренние усилия действующих в произвольно взятом сечении тела. Данное положение является основополагающим обстоятельством в механике твердого деформируемого тела.

В общем случае в сечении могут иметь место все шесть силовых факторов. Однако достаточно часто на практике встречаются случаи, когда некоторые внутренние усилия отсутствуют.

Рис. 2.3

Сопротивления, при которых в поперечном сечении бруса дей­ствует одно внутреннее усилие, условно называются простыми. При одновременном действии в сечении бруса двух и более усилий сопротивление бруса называется сложным.

В заключение заметим, что при выполнении практических рас­четов, для наглядности, как правило, определяются графики функ­ций внутренних силовых факторов относительно координатной оси, направленной вдоль продольной оси стержня. Графики изме­нения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня называ­ются эпюрами.

Дата добавления: 2014-01-20