Решение при трении, пропорциональном скорости

Рассматривается случай Р_тр =к·. Обозначив , из (*) получаем , (***)

Общее решение однородного уравнения ищем подстановкой Эйлера , что приводит к характеристическому уравнению для

,

решение которого

зависит от соотношения n и : колебательное при и , где ,

и апериодическое при и . Реально трение относительно невелико и практически реализуется колебательное решение, согласно которого

.

Рассмотрим основные задачи динамики и сравним результаты с задачей без учета трения.

1. Круговая частота собственных колебаний

,

где коэффициент демпфирования в естественных условиях не превышает 0,3 и только в специальных устройствах (амортизаторы, устройство гашения колебаний в стрелочных гальванометрах и.т.п.) достигает 0,5. Поэтому, решение с учетом трения мало отличается от решения без учета трения.

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	1,005	1,02	1,05	1,08	1.15

Таким образом, решение без учета трения практически точно, так как погрешность лежит в пределах точности вычислений в сопротивлении материалов.

2. Учтем затухание колебаний при динамических воздействиях.

Коэффициент затухания за период колебаний

.

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	1,94	4,08	9,52	25,65	85,02

Как видно из таблицы, собственные колебания быстро затухают и практически могут не учитываться при длительном динамическом процессе.

При ударе, который длится одну четвертую периода,

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	1,18	1,42	1,75	2,25	3,04

Ударные нагрузки без учета сопротивления рассчитываются с запасом до 1,75.

2. АЧХ с учетом трения, конечно, не уходит в бесконечность при резонансе.

При кинематическом возбуждении

. ****)

Ищем частное решение в виде

.

После подстановки в (****) и приравнивания коэффициентов при синусе и косинусе, получаем систему

,

решение которой

,

позволяет найти . АЧХ при разных значениях представлены на рисунке. Защита от вибраций наступает:

при если , при если , при если .

и менее быстром разгоне при запуске, чем без трения.

Дата добавления: 2014-01-20