Лекция 6. Временные характеристики динамического звена

Структурная схема динамического звена

Графически передаточные функции динамического звена представляют в следующем виде:

Рис. 3

Если известно изображение входного сигнала и передаточная функция динамического звена, всегда можно найти изображение выходного сигнала при нулевых начальных условиях

. (5)

В общем случае САУ состоит из множества динамических звеньев, сигналы с выходов звеньев могут суммироваться или вычитаться, суммироваться с внешними для САУ сигналами. Суммирование и вычитание изображений сигналов могут быть представлено графически с помощью суммирующих звеньев:

1.

2.

Показанная выше неоднозначность графического представления вычитания изображений на суммирующем элементе связана с различием в стандартах разных стран.

Используя графическое представление передаточных функций звеньев и суммирующие звенья, можно в графической форме представить операторные уравнения, описывающие САУ. Такое графическое представление операторных уравнений в ТАУ называют структурной схемой.

Пример

По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта.

Решение:

Получим систему операторных уравнений, подвергнув исходную систему дифференциальных уравнений преобразованию Лапласа и заменив оригиналы изображениями,

Из первого уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим

.

Тогда передаточная функция этого звена имеет вид

,

а выражение описывает суммирующее звено . Таким образом, получены два фрагмента структурной схемы

Из второго уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим, вводя обозначение,

.

Тогда передаточная функция этого звена имеет вид

,

а выражение описывает суммирующее звено . Таким образом, получены еще два фрагмента структурной схемы

Соединим все фрагменты структурной схемы объекта управления, объединяя одноименные сигналы, либо разветвляя их с помощью точек ветвления, показанных на схеме. В результате получим

Контрольные вопросы и задачи к лекции 5

1. Что такое линейное динамическое звено?

2. Как определить передаточную функцию линейного динамического звена?

3. Перечислите основные элементы структурных схем систем управления.

Временной или импульсной характеристикой динамического звена называют реакцию звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид –

Рис. 4

Выясним, что представляет собой временная характеристика, то есть почему ее называют характеристикой динамического звена?

Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией

Рис. 5

В этом случае, в соответствии с (5), имеем

.

Таким образом

Получаем, что передаточная функция звена – это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического звена. В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции

,

при использовании разложения в форму Хэвисайда и обратное преобразование Лапласа.

Знание импульсной характеристики позволяет определить реакцию динамического звена на сигнал любой формы.

Для динамического звена с передаточной функцией преобразуем (5), используя теорему об умножении изображений преобразования Лапласа,

,

а если легко получить , тогда

.

Переходной характеристикой или переходной функцией динамического звена называют реакцию динамического звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид –

Рис. 6

Для анализа переходной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией

Рис. 7

В этом случае, в соответствии с (5), имеем

.

По теореме об интегрировании оригинала имеем

Переходная функция является интегралом по времени от импульсной характеристике и наоборот

.

Переходная характеристика динамического звена может быть определена по передаточной функции

Контрольные вопросы и задачи к лекции 6

1. Как определить по передаточной функции динамического звена его временные характеристики: импульсную и переходную?

2. Как по переходной характеристике определить импульсную характеристику динамического звена?

3. Определите передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

Ответ:

.

4. Определите передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

Ответ:

.

5. По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта.

Ответ:

Лекция 7. Частотные характеристики динамического звена

Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента , полученную путем формальной замены на в выражении передаточной функции

Получим связь частотной характеристики с известными понятиями. Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией и сигналами , . Пусть , – абсолютно интегрируемые функции и равны нулю при . Тогда частотные спектры этих сигналов (преобразование Фурье) этих функций можно определить следующим образом –

.

Получим отношение спектров

.

Таким образом, частотную характеристику динамического звена можно определить как отношение спектра (преобразования Фурье) выходного сигнала к спектру входного сигнала.

Знание частотной характеристики звена позволяет определить выходной спектр по входному

.

Рассмотрим динамическое звено –

Рис. 1

Получим спектр выходного сигнала – импульсной характеристики

.

Тогда имеем

,

то есть преобразование Фурье от импульсной характеристики равно частотной характеристике динамического звена.

Частотная функция характеристика как функция комплексного аргумента может быть представлена в следующем виде –

где – действительная (вещественная) часть ,

– мнимая часть ,

– модуль (амплитуда) ,

– фаза аргумент .

Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части частотной характеристики являются функциями частоты, поэтому частотная характеристика используется и графически представляется в виде амплитудно-фазовой, действительной, мнимой, амплитудной и фазовой частотных характеристик.

В теории автоматического управления рассматривают и используют следующие частотные характеристики динамических звеньев:

1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) –

.

2. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) –

.

3. Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) –

.

4. Мнимая частотная характеристика (МЧХ) –

.

5. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф (след движения конца) вектора , построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

На рис. 2 покажем частотные характеристики некоторого динамического звена.

Рис. 2

Для выяснения физического смысла частотной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией и импульсной характеристикой , на вход которого подаем гармонический сигнал .

Рис. 3

Вспомним, что решение линейного дифференциального уравнения динамического звена, в рамках классического метода, состоит из двух составляющих – свободной и установившейся.

Установившаяся составляющая в случае гармонической функции времени, стоящей в правой части уравнения, так же является гармонической функцией времени. Поэтом установившийся сигнал на выходе динамического звена можно описать следующим выражением

.

Сигнал на выходе звена определим с помощью теоремы об умножении изображений

В результате получаем

.

Для перехода к установившемуся режиму полагаем , тогда получаем

.

Но, с другой стороны, имеем по определению прямого преобразования Фурье

.

Поэтому

.

Отсюда следует простой алгоритм экспериментального определения частотной характеристики линейного динамического звена, объекта или системы управления для конкретной частоты :

1. Подать на вход объекта синусоидальный сигнал частоты и постоянной амплитуды.

2. Дождаться затухания свободной составляющей переходного процесса.

3. Измерить амплитуду выходного сигнала и сдвиг его по фазе относительно входного сигнала.

4. Отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного сигнала определит модуль частотной характеристики при частоте .

5. Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала определит угол (аргумент) частотной характеристики при частоте .

Применяя данный алгоритм для частот от нуля до бесконечности, можно экспериментальным путем определить частотную характеристику конкретного устройства. Функциональная схема экспериментальной установки для снятия частотных характеристик имеет вид

Рис. 4

При частоте на экране осциллографа получаем после затухания свободной составляющей следующую картину –

Рис. 5

На основании рис. 5 можно построить на комплексной плоскости точку, принадлежащую частотной характеристике устройства, а совокупность точек при изменении частоты от нуля до величины, когда амплитуда выходного установившегося сигнала станет пренебрежимо мала, будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). Как видно из рисунка, по этим данным может быть построена любая необходимая частотная характеристика устройства.

Рис. 6

Для экспериментального получения частотных характеристик различных объектов в инженерной практике используют специализированные приборы, а в последнее время широко используют для таких целей персональные компьютеры, оснащенные специализированными платами ввода-вывода и пакетами прикладных программ.

Учитывая все вышеизложенное, становится ясным и физический смысл частотной характеристики.

Она показывает, во сколько раз изменяет динамическое звено (устройство), работающее в установившемся режиме, амплитуду входной синусоиды частоты , и на какой угол сдвигает входную синусоиду по фазе.

Контрольные вопросы и задачи к лекции 7

1. Как определить частотную характеристику динамического звена, если известна его передаточная функция?

2. Какие виды частотных характеристик вы знаете?

3. Как определить амплитуду и аргумент частотной характеристики?

4. Перечислите основные этапы экспериментального снятия частотной характеристики устройства.

5. Поясните физический смысл частотной характеристики линейного динамического звена.

6. Определите выражение частотной характеристики по заданной передаточной функции

.

Ответ:

.

7. Определите выражение частотной характеристики по заданной передаточной функции

.

Ответ:

.

8. Определите выражения амплитудной и фазовой частотных характеристик для динамического звена с передаточной функцией –

.

Ответ:

.

9. На вход динамического звена с передаточной функцией

,

поступает гармонический сигнал постоянной амплитуды с частотой

.

На какой угол будет смещен выходной сигнал в установившемся режиме?

Ответ:

Лекция 8. Элементарные (типовые) динамические звенья

Любая линейная САУ может быть представлена в виде передаточной функции в форме Боде

,(1)

где могут быть или действительными или комплексно-сопряженными. Рассмотрим отдельно каждый случай.

Действительные нули и полюсы

Преобразуем сомножители из (1), введя обозначения

,

в итоге имеем сомножители следующего вида –

(2)

Комплексно-сопряженные нули и полюсы

В этом случае имеем корни вида –

,

и соответствующие им сомножители

.

Введем обозначения –

,

получим сомножители следующего вида

,(3)

в числителе и знаменателе передаточной функции.

Тогда (1) с учетом (2) и (3) можно записать в следующем виде

в итоге имеем сомножители следующего вида –

.(2)

Комплексно-сопряженные нули и полюсы

В этом случае имеем корни вида –

,

и соответствующие им сомножители

.

Введем обозначения –

,

получим сомножители следующего вида

,(3)

в числителе и знаменателе передаточной функции.

Тогда (1) с учетом (2) и (3) можно записать в следующем виде

,(4)

где

.

Из (4) следует, с учетом правила эквивалентного преобразования структурных схем, что линейная САУ может быть представлена в виде последовательного соединения элементарных динамических звеньев 1-го и 2-го порядка с передаточными функциями следующего вида

.(5)

Кроме того, передаточную функцию САУ можно представить в форме Хэвисайда –

.

Из чего следует, что САУ можно представить в виде параллельно соединенных звеньев с передаточными функциями вида (5). Кроме того, передаточными функциями 1-го и 2-го порядка описываются многие функциональные компоненты систем управления

Такие динамические звенья называют элементарными или типовыми звеньями, изучение их свойств и характеристик многое дает при синтезе и анализе реальных и сложных систем.

К типовым звеньям относят следующие динамические звенья:

1. Безынерционное (масштабирующее, пропорциональное) звено

.

2. Дифференцирующее звено

.

3. Интегрирующее звено

.

4. Апериодическое звено

.

5. Колебательное звено

.

6. Форсирующие звенья

.

Замечание

Следующие звенья не являются элементарными в полном смысле этого слова, но их часто относят к типовым в силу их широкого распространения.

7. Реальное дифференцирующее звено

.

8. Интегральное звено с замедлением

.

9. Пропорционально-интегральное звено

.

Характеристики (временные и частотные) типовых звеньев могут быть получены аналитически по их передаточным функциям, при этом удобно использовать сводную диаграмму, показывающую взаимосвязь математических моделей динамических звеньев.

Рис. 1

Безынерционное звено

Передаточная функция

.

Временные характеристики

,

.

Частотная характеристика

,

.

Дифференцирующее звено

Передаточная функция

.

Временные характеристики

,

.

Частотная характеристика

,

.

Интегрирующее звено

Передаточная функция

.

Временные характеристики

,

.

Частотная характеристика

,

.

Контрольные вопросы и задачи к лекции 8

1. Дайте определение типового динамического звена.

2. Почему типовые динамические звенья так подробно изучают?

3. Перечислите динамические звенья, которые относят к типовым (элементарным).

4. Как по передаточной функции определить импульсную характеристику динамического звена?

5. Как по передаточной функции определить переходную характеристику динамического звена?

6. Как по передаточной функции определить частотную характеристику динамического звена?

7. Какое типовое звено смещает гармонический сигнал любой частоты на угол в сторону запаздывания?

8. Какое типовое звено смещает гармонический сигнал любой частоты на угол в сторону опережения?

9. Какое типовое звено не изменяет фазу гармонического сигнала любой частоты?

Лекция 9. Временные и частотные характеристики звеньев

Апериодическое звено

Передаточная функция

.

Временные характеристики

,

.

Частотная характеристика

,

.

Реальное дифференцирующее звено

Передаточная функция

.

Преобразуем передаточную функцию реального дифференцирующего звена для удобства получения временных характеристик –

.

Временные характеристики можно определить по известным характеристикам безынерционного и апериодического звеньев –

,

.

Частотная характеристика

,

.

Интегрирующее звено с запаздыванием

Передаточная функция

.

Преобразуем передаточную функцию реального дифференцирующего звена для удобства получения временных характеристик –

,

где

.

Временные характеристики можно определить по известным характеристикам интегрирующего и апериодического звеньев –

,

.

Частотная характеристика

,

Пропорционально-интегрирующее звено

Передаточная функция

.

Временные характеристики можно определить по известным характеристикам безынерционного и интегрирующего звеньев –

,

.

Частотная характеристика

,

.

Контрольные вопросы и задачи

1. Сравните характеристики дифференцирующего и реально дифференцирующего звеньев. Что в них общего, и чем они отличаются?

2. Сравните характеристики интегрирующего звена и интегрирующего звена с запаздыванием. Что в них общего, и чем они отличаются?

3. Дифференциальное уравнение, описывающее динамическое звено имеет вид –

.

Определите передаточную функцию типового динамического звена и его название.

Ответ:

Имеем апериодическое звено с передаточной функцией –

,

4. Передаточная функция динамического звена имеет вид –

,

как измениться амплитуда гармонического сигнала с частотой во сколько раз?

Ответ:

Сигнал уменьшится в 10 раз.

5. Передаточная функция динамического звена имеет вид –

,

как измениться фаза гармонического сигнала с частотой ?

Ответ:

Выходной сигнал будет опережать входной на .

6. Передаточная функция динамического звена имеет вид –

,

Определите угол наклона переходной характеристики этого звена.

Ответ:

Угол наклона составляет .

Лекция 7. Правила эквивалентных преобразований структурных схем систем автоматического управления

Выше были рассмотрены математические модели отдельных динамических звеньев. САУ представляет собой систему, состоящую из функциональных элементов, каждый из которых может быть представлен в виде динамического звена. То есть САУ можно представить в виде совокупности динамических звеньев с известными математическими моделями. Рассмотрим структуру типичной САУ –

где – передаточные функции соответственно объекта, датчика и регулятора, – изображения задающего, возмущающего и выходного сигналов.

В процессе анализа и синтеза САУ необходимо получать передаточные функции САУ, которые связывают выходную переменную с заданием и возмущением в САУ, по известным структурной схеме и передаточным функциям динамических звеньев, входящих в состав САУ.

Аналогичная задача возникает в том случае, когда известны частотные характеристики динамических звеньев, а необходимо определить частотные характеристики САУ, характеризующие связи между выходом и входом САУ.

Решением этих задач мы и займемся в дальнейшем.

Эта задача решается путем преобразования (сворачивания) структурной схемы к одному динамическому звену с искомой передаточной функцией на основе использования правил эквивалентных преобразований структурных схем и принципа суперпозиции (наложения).

Правила эквивалентных преобразований позволяют найти необходимую передаточную функцию САУ, свернув структурную схему к одному динамическому звену с искомой передаточной функцией.

Рассмотрим правила эквивалентных преобразований, не изменяющих свойств систем и необходимых для нахождения передаточной функции:

1. Последовательное соединение динамических звеньев.

2. Параллельное соединение динамических звеньев.

3. Замкнутый контур с отрицательной обратной связью.

4. Замкнутый контур с положительной обратной связью.

5. Перенос точки ветвления через динамическое звено.

6. Перенос суммирующего звена через динамическое звено.

7. Перестановка суммирующих звеньев.

8. Перенос точки ветвления с выхода на вход суммирующего звена.

9. Перенос точки ветвления с входа на выход суммирующего звена.

Принцип суперпозиции (наложения)

Применим рассмотренные правила для упрощения структурной схемы

Рис. 1

Процесс преобразования, который часто называют свертыванием структурной схемы, выглядит следующим образом.

1. Перенесем суммирующее звено через динамическое звено .

2. Поменяем местами суммирующие звенья и.

3. Преобразуем последовательно включенные динамические звенья и .

4. Преобразуем замкнутый контур с отрицательной обратной связью ().

5. Перенесем суммирующее звено вправо.

6. Преобразуем последовательно включенные звенья..

В соответствии с полученной структурной схемой запишем операторное уравнение –

(1)

Уравнение показывает, что является линейной комбинацией изображений входных сигналов, взятых с коэффициентами и . Выясним смысл этих коэффициентов на примере коэффициента . Для этого положим в (1) , тогда получим –

(2)

Таким образом, из (2) следует, – это передаточная функция динамического звена, к которому свернута структурная схема в предположении, что изображения всех входных сигналов, кроме , равны нулю.

Теперь становится ясным смысл и самого операторного уравнения (1), описывающего систему. Он заключается в том, что реакция линейной системы на совместно действующие входные сигналы может быть определена в виде суммы частичных реакций, каждая из которых вычисляется в предположении, что на систему действует только один входной сигнал, а остальные равны нулю.

По сути – это формулировка фундаментального принципа, который называют принципом наложения или суперпозиции. Этот принцип можно рассматривать как дополнение к правилам эквивалентных преобразований структурных схем и активно использовать на практике.

Практически принцип суперпозиции для нахождения конкретной передаточной функции используют следующим образом. Полагают равными нулю все входные сигналы, кроме необходимого сигнала, а затем выполняют преобразование структурной схемы в одно динамическое звено.

Рассмотрим использование принципа суперпозиции на примере показанной на рис. 1 структурной схемы.

1. Полагаем и изобразим соответствующую этому случаю структурную схему.

Используя эквивалентные преобразования, получим –

.

2. Полагаем и изобразим соответствующую этому случаю структурную схему.

Используя эквивалентные преобразования, получим –

.

3. Имея , в соответствии с принципом суперпозиции получим "свернутую" структурную схему САУ.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какие задачи позволяют решать правила эквивалентных преобразований структурных схем?

2. Дайте определение принципа суперпозиции применительно к структурным схемам систем автоматического управления.

3. Как используют принцип суперпозиции на практике?

4. Определите передаточные функции

по следующей структурной схеме

Ответ:

.

5. Определите передаточную функцию, эквивалентную структурной схеме.

Ответ:

.

6. Определите передаточные функции

по следующей структурной схеме

Ответ:

.

7. Определите передаточные функции

по следующей структурной схеме

Ответ:

Лекция 8

Дата добавления: 2014-01-11