Вычисление линейных интегральных оценок

Лекция 18

Рассмотрим проблему вычисления интеграла линейной интегральной оценки. Можно сначала решить аналитически дифференциальные уравнения, описывающие систему, долее определить ошибку регулирования, затем подставить выражение для ошибки в интеграл линейной оценки и, взяв его, получить выражение для .

Но можно поступить и иначе.

Пусть свободное движение ошибки регулирования системы описывается уравнением

(1)

Проинтегрируем это уравнение –

После интегрирования получаем –

(2)

Подстановки верхнего предела дают члены следующего вида –

(3)

так как все производные ошибки в установившемся режиме обращаются в ноль.

Подстановки нижнего предела дают члены вида –

(4)

которые являются начальными условиями уравнения (1).

Подставив (3) и (4) в (2), получим

(5)

А так как

,

окончательно получаем

(6)

Решая (6) относительно , получим выражение для вычисления линейной интегральной ошибки –

(7)

Теперь мы может определить по коэффициентам характеристического уравнения системы и начальным условиям переходного процесса ошибки.

Для синтеза систем, определения параметров минимизирующих , следует воспользоваться обычными методами исследования функций на экстремум. Следовательно, если мы хотим определить параметр системы, на пример, параметр , обеспечивающий , необходимо решить относительно параметра следующее уравнение –

.

Рассмотрим несколько примеров использования линейной интегральной оценки.

Пример

Система имеет характеристическое уравнение

(8)

Определим выражение для , если начальные условия имеют вид –

.

Определим значение параметра , при котором интегральная оценка имеет минимум.

Решение

Обозначим –

.

Используем для нахождения выражение (7) –

(9)

Из рассмотрения (9) получаем, что в этом случае не имеет экстремума, а меньшее значение интегральной ошибки мы будем получать при меньшем значении . Действительно, ведь уравнение (8) является характеристическим уравнением апериодического звена, параметр – это постоянная времени. Переходный процесс для двух разных постоянных времени будет иметь вид, показанный на рис. 1.

Рис. 1

Пример

Система имеет характеристическое уравнение

.

Определим выражение для , если начальные условия имеют вид –

.

Определим значение параметра , при котором интегральная оценка имеет минимум.

Решение

Обозначим –

.

Используем для нахождения выражение (7) –

.

Если , то процессы монотонные, обеспечивается при наименьших и . Если , то уменьшение коэффициента затухания уменьшает линейную интегральную оценку, но это приводит к ухудшению переходного процесса, повышению его колебательности.

При колебательных процессах в системах линейная интегральная оценка дает значительную погрешность. При этом минимум оценки может соответствовать процессу с большим числом колебаний со значительной амплитудой, малым быстродействием, так как, по сути, в оценке происходит сложение положительных и отрицательных областей площади под интегральной кривой. Это иллюстрируют рис. 2 и 3, показывая два процесса, которые могут иметь одно и то же значение линейной интегральной оценки.

Рис. 2

Рис. 3

И так как форма переходного процесса при анализе системы автоматического управления часто заранее неизвестна, то применять линейные интегральные оценки на практике нецелесообразно.

Можно попытаться использовать интеграл от модуля ошибки следующего вида –

(10)

На рис. 4 показан примерный вид кривых изменения ошибки и ее модуля. Но аналитическое вычисление интеграла от модуля ошибки по математической модели системы оказалось весьма громоздким, поэтому эта оценка широкого распространения не получила.

Рис. 4

Дата добавления: 2014-01-11