Квадратичная интегральная оценка с учетом производной

Недостатком квадратичной интегральной оценки , как и предыдущих оценок, является то, что при минимизации оценки не накладываются ограничения на форму переходного процесса. На пример, показанные на рис. 1 графики – (а, б, в) могут иметь одинаковые значения существенно при этом отличаясь по форме переходного процесса.

Рис. 1

Кроме того, часто оказывается, что выбранные по параметры системы приводят к существенно колебательному процессу, большим производным из-за стремления приблизить процесс к идеальному скачку.

Поэтому используют еще один вид интегрально квадратичной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения , но и на скорость его изменения . Эта оценка имеет следующий вид –

(1)

где – некоторая постоянная времени.

Разницу между оценками и можно представить графически, как это показано на рис. 2.

Рис. 2

То есть оптимизированный по переходный процесс стремиться к идеальному скачку, а оптимизированный по – к кривой экспоненциального вида, которая описывается следующим выражением –

.

Докажем последнее утверждение. Для этого проанализируем выражение (1).

,

с учетом того, что

,

получаем

(2)

С учетом того, что последнее слагаемое в (2) является величиной постоянной –

,

квадратичная оценка будет иметь минимум при

(3)

Решение дифференциального уравнения (3) имеет вид –

,

а если перейти от ошибок к выходным переменным, то получим –

,

что и требовалось доказать.

Следовательно, выбирая параметры системы по , можно приблизить переходный процесс к экспоненте с заданной постоянной времени , тем самым вводится ограничение на скорость нарастания выходной величины .

Методика определения может быть аналогичной методике определения , рассмотренной выше, если представить квадратичную оценку с учетом производной в следующем виде –

,

где определяется по формулам для , но с учетом того, что порядок числителя – увеличивается на 1.

В теории автоматического управления используют квадратичные оценки с производными более высокого порядка (до ) для более точного задания желаемой формы переходного процесса, естественно, что при этом усложняется и процесс вычисления оценок.

Дата добавления: 2014-01-11