Вычисление квадратичных интегральных оценок

Рассмотрим вычисление и использование квадратичных ошибок на примере.

Пример

В системе управления с передаточной функцией –

,

зададим :

· из условия ,

· из условия ,

и сравним переходные процессы для двух этих случаев.

Решение

Получим выражение для . Для этого преобразуем передаточную функцию системы к заданному виду

,

тогда получим

(4)

Выражение для принимает вид –

(5)

Определим компоненты (5) по параметра передаточной функции системы (4).

(6)

Для нахождения определим (), при ,

,

Заменим в выражении (6) для первый столбец столбцом вида

.

Тогда получаем

.

Определим –

.

После подстановки полученных компонент в (5) получаем выражение для квадратичной интегральной оценки.

(5)

Найдем выражение для частной производной по от выражения (5)

,

приравнивая полученное выражение к нулю получаем уравнение для нахождения оптимального значения .

.

В результате получаем оптимизированное по квадратичной оценке значение –

(6)

Передаточная функция системы при примет вид –

.

На рис. 3 покажем вид переходного процесса системы при единичном ступенчатом воздействии и оптимизированным по параметром.

Рис. 3

Таким образом, имеем следующие показатели качества переходного процесса,

(7)

Определим по отработанной выше методике для –

,

выражение для берем из предыдущего случая –

.

Определим теперь . Передаточная функция системы для этого случая имеет вид –

,

тогда получим

(8)

Выражение для принимает вид –

(9)

Определим компоненты (9) по параметра передаточной функции системы (8).

(10)

Определим коэффициенты –

.

не определяем, так как . Для нахождения определим (), при ,

,

Заменим в выражении (10) для второй столбец столбцом вида

.

Тогда получаем

.

После подстановки полученных компонент в (9) получаем выражение для квадратичной интегральной оценки.

(11)

Окончательно получаем

(12)

Найдем выражение для частной производной по от выражения (12)

,

приравнивая полученное выражение к нулю получаем уравнение для нахождения оптимального значения .

.

В результате получаем оптимизированное по квадратичной оценке с учетом производной значение –

(13)

Полагаем для определенности , тогда

.

Передаточная функция системы при примет вид –

.

На рис. 3 покажем вид переходного процесса системы при единичном ступенчатом воздействии и оптимизированным по параметром.

Рис. 4

Таким образом, имеем следующие показатели качества переходного процесса,

(14)

Сравнивая переходные процессы, видим, что при оптимизации по квадратичной оценке с учетом производной () получили существенно меньшие значения перерегулирования и быстродействия, при более плавном нарастании переменной.

Контрольные вопросы и задачи

1. Дайте определение квадратичной интегральной оценки с учетом производной, поясните ее компоненты.

2. К какому виду стремиться переходный процесс при минимизации интегральной квадратичной оценки с учетом производной?

3. Как вычисляют квадратичную интегральную оценку с учетом производной?

4. Вычислите интегральную квадратичную оценку переходного процесса в системе с передаточной функцией –

,

если на вход системе подается единичная ступенчатая функция.

Ответ:

Интегральная квадратичная оценка .

5. Вычислите интегральную квадратичную с учетом производной оценку переходного процесса в системе с передаточной функцией –

,

если на вход системе подается единичная ступенчатая функция, а постоянная времени оценки .

Ответ:

Интегральная квадратичная оценка .

6. Определите параметр регулятора системы управления, обеспечивающий минимум квадратичной оценки

Ответ:

Параметр пропорционально-интегрального регулятора .

Лекция 20

Дата добавления: 2014-01-11