Тема: Понятие производной

Виды асимптот

Асимптоты

Свойства непрерывных функций

1. Свойства непрерывных функций в точке.

- Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

- Частное двух непрерывных функций f(x)/g(x) – есть непрерывная функция при условии, что функция g(x) не равна нулю в точке х₀.

- Суперпозиция (сложные функции) непрерывных функций – есть непрерывная функция.

2. Непрерывность функции на промежутке. Функция называется непрерывная на интервале от а до b, если она непрерывна в каждой точке интервала. Функция называется непрерывная на отрезке от а до b, если она непрерывна на интервале от а до b, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

Свойства непрерывных функций на промежутке

Свойства	Геометрическая интерпретация
1. Первая теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на отрезке от а до и b, то функция ограничена на этом отрезке.
2. Вторая теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на отрезке от а до и b, то существуют, по крайней мере, точки, в которых функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения.
3. Первая теорема Больцано – Коши: Если функция непрерывна на отрезке от а до b и принимает на его концах различные по знаку значения, то существует, по крайней мере, одна точка принадлежащая отрезке от а до b в которой функция обращается в нуль.
4. Вторая теорема Больцано – Коши: Если функция непрерывна на интервале от а до b и не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то она имеет один и тот же знак во всех точках интервала.

1. Определение: Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.

вид	Условие существования	уравнение	изображение
вертикальная
горизонтальная
наклонная

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

задача	математическая запись	Словесная интерпретация
Задача о мгновенной скорости (прямолинейное движение материальной точки)		Мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени есть производная от пути за этот промежуток времени
Задача о мгновенной величине тока (протекание тока в электрической цепи)		Мгновенное значение тока в электрической цепи при неравномерном движении через проводник есть производная от количества зарядов,прошедших за определенный промежуток времени.
Задача о производительности труда		Мгновенное значение производительности труда при неравномерном выпуске произведенной продукции есть производная от количества произведенной продукции за определенный промежуток времени.

2. Общее правило нахождения производной.

1). Находим приращение аргумента:.

2) Находим приращение функции:

3) Находим среднее значение функции в точке:

4) Находим мгновенное значение функции:

3. Определение производн6ой функции

Словесная формулировка	Математическая формулировка
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при, если этот предел существует.

4. Таблица производных

Название формулы	формула
Производная постоянной величины
Производная аргумента
Производная алгебраической функции
Производная произведения
Частный случай произведения функций
Производная частного двух функций
Производная сложной функции
Производная обратной функции
Производная степенной функции
Производная функции квадратного корня
Производная обратной пропорциональности
Производная показательной функции
Частный случай показательной функции
Производная логарифмической функции
Частный случай логарифмической функции
Производная синуса
Производная косинуса
Производная тангенса
Производная котангенса
Производная арксинуса
Производная арккосинуса
Производная арктангенса
Производная арккотангенса
Производная линейной функции

Дата добавления: 2014-01-20