Скорость точки и ее нахождение при различных способах движения точки

Важным параметром, характеризующим движение, является скорость перемещения точки. Для определения этого понятия рассмотрим движение точки, заданное векторным уравнением:

. (1.3)

Пусть в некоторый момент времени t положение точки М определяется радиусом-вектором. За промежуток времени ∆t точка перемещается в положение, определяемое радиусом-вектором . Вектор, характеризующий перемещение точки характеризующий перемещение точки .

Составим отношение. Вычислим предел этого отношения в предположении, что промежуток временистремиться к нулю:

– скорость точки в момент времени t. Скорость равна первой производной по времени от радиус-вектора.

Научимся вычислять скорость при трёх способах задания движения.

ПРИ ВЕКТОРНОМ СПОСОБЕ

Задано . Исходя из определения скорости, при векторном способе она определяется соотношением:

(1.4)

ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ

Ранее было записано разложение радиус-вектора по ортам:

(1.5)

Также по ортам можно разложить скорость точки:

. (1.6)

Используя (1.4), получим:

,. (1.7)

Сравнивая (1.6) и (1.7), и зная, что для равенства двух векторов необходимо и достаточно равенство их соответствующих проекций:

. (1.8)

Модуль вектора скорости определяется по формуле:

(1.9)

Направление скорости определяется направляющими косинусами вектора :

(1.10)

ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ

Задано S=S(t). Находим:

При

– единичный вектор касания.

По определению . Следовательно:

(1.11)

Величина есть проекция скорости на естественную координату .

Модуль скорости , т.к.; тогда

, (1.12)

т.е. скорость направлена по касательной к траектории (в ту же или противоположную сторону направления вектора касания ).

Дата добавления: 2014-01-11