Кинематика поступательного и вращательного движения

ЛЕКЦИЯ 1

1. Некоторые базовые понятия механики. Одним из основных понятий механики является понятие движения. Механическое движение – это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей. Механика – часть физики, изучающая причины и закономерности механического движения и взаимодействия тел. Под механическим воздействием на тело со стороны других тел понимается такое воздействие, при котором изменяется состояние механического движения и (или) происходит изменение формы рассматриваемого тела (т.е. его деформация). Кинематика – раздел механики, изучающий особенности движения тел безотносительно к причинам, вызывающим это движение. На практике при изучении процессов механического движения и взаимодействия всегда приходится из множества тел выделять некоторую группу (совокупность) тел, имеющих для данной конкретной задачи существенное значение. Такая совокупность тел называется механической системой. Из определения механического движения как процесса, характеризующегося изменением в пространстве взаимного расположения тел и (или) их частей, следует, что изучение закономерностей движения тела возможно только в том случае, если указаны какие-либо другие тела, относительно которых рассматривается данное движение. Действительно, если в пространстве, окружающем рассматриваемое тело, нет других тел, то в таком случае невозможно установить факт движения тела, так как в окружающем пространстве нет никаких объектов, по отношению к которым это тело могло бы изменять свое положение. В связи с вышесказанным в механике для определения координат тела в любой момент времени вводится понятие системы отсчета. Система отсчета – это совокупность неподвижных по отношению друг к другу тел, относительно которых описывается движение тела. Описать движение тела – значит определить для каждого момента времени положение тела в пространстве (относительно выбранной системы отсчета), а также определить скорость тела (ее величину и направление). Соответственно, для того, чтобы описать движение механической системы необходимо для каждого момента времени определить положение и скорость каждого из тел, образующих рассматриваемую систему.

При решении любой физической задачи приходится прибегать к различным допущениям, помогающим упростить решение задачи. Одним из широко используемых в механике допущений является понятие материальной точки. Материальной точкой называется тело (объект), размеры которого не играют существенной роли при решении данной задачи. Другим часто применяемым в механике допущением является понятие абсолютно твердого тела. Абсолютно твердое тело – тело, изменением размеров которого в данной задаче можно пренебречь. Ясно, что как материальная точка, так и абсолютно твердое тело, строго говоря, являются абстрактными понятиями. Однако во многих случаях такая абстракция помогает с достаточной для практики точностью решить поставленную задачу (примеры на материальную точку и абсолютно твердое тело).

2. Кинематика материальной точки.

Радиус-вектор, путь, перемещение. Рассмотрим точку М, движущуюся относительно некоторой выбранной нами системы отсчета, с которой мы свяжем декартову систему координат OXYZ (см. рис. 1). Определение: радиус-вектором r точки М называется вектор, проведенный из начала координат в эту точку. Заметим, что проекции вектора r равны декартовым координатам точки:

Соответственно модуль радиус-вектора равен

.

Замечание: в декартовой системе координат радиус-вектор r может быть представлен в виде

,

где - единичные (с модулем, равным единице) вектора (орты), направленные вдоль координатных осей OX, OY и OZ соответственно (см. рис. 1).

Пусть за некоторое время t, отсчитанное в нашей системе отсчета, точка М переместилась из положения 1 в положение 2 (см. рис. 1).

Определение: траекторией движения точки называется линия, прописываемая точкой при ее движении в пространстве или на плоскости.

Определение: длина участка 1-2 траектории, которую прописывает точка при своем движении, называется путем, пройденным точкой за время t. Обозначим величину пройденного пути как s ₁₂.

Определение: отрезок, проведенный из точки 1 в точку 2, называется перемещением точки. Обозначим величину перемещения как r ₁₂.

В общем случае пройденный точкой путь и ее перемещение не совпадают по величине (примеры на различие в пути и перемещении, движение точки по окружности).

. (1)

Как видно из рис. 2, модуль вектора Δ r есть ни что иное, как перемещение точки, состоявшееся за время Δ t. Рассматривая рис. 2, можно заметить отмеченное выше различие в величине пройденного точкой пути и перемещения. В месте с тем ясно, что с уменьшением интервала времени Δ t, в течение которого рассматривается движение точки, различие в пройденном телом пути и перемещении будет становиться все более незначительным и в пределе

. (2)

Заметим, что если рассматриваемый интервал времени , то и связанные с этим интервалом времени путь и перемещение также будут стремиться к нулю: , т.е. как и Δ t будут являться бесконечно малыми (но не равными нулю!) величинами, которые в математике принято обозначать соответственно dt, ds и d r. Имея в виду сказанное, мысленно разобьем траекторию движения точки на малые участки ds, которым будут соответствовать малые перемещения d r.

Определение: если за равные, сколь угодно малые промежутки времени dt частица проходит одинаковые пути ds, то такое движение частицы называется равномерным.

Скорость и ускорение. Определение: скорость – векторная величина, характеризующая направление и быстроту перемещения материальной точки в пространстве. Мгновенной скоростью (или просто скоростью) точки называется векторная величина, равная

. (3)

Таким образом, скорость есть производная радиус-вектора частицы по времени.

Замечание:

1) из выражения (3) следует, что направление вектора v совпадает с направлением вектора d r;

2) из рис. 2 видно, что при бесконечно малом перемещении точки вектор перемещения d r оказывается направленным по касательной к траектории движения точки, откуда следует, что вектор мгновенной скорости точки всегда направлен по касательной к траектории ее движения.

Найдем модуль скорости. На основании (3) с учетом (2) можем записать, что

. (4)

Таким образом, модуль скорости равен производной от пройденного точкой пути по времени.

Как и радиус-вектор, вектор скорости может быть представлен через проекции на оси координат

. (5)

Соответственно, модуль вектора

. (6)

Заметим также, что

. (7)

Сопоставляя (7) и (5) находим, что

Скорость как векторная величина может меняться по модулю и направлению. Для характеристики быстроты изменения вектора скорости в механике вводится векторная величина, называемая ускорением. Ускорение связано со скоростью соотношением

. (8)

С учетом (7) выражению (8) можно придать следующий вид

, (9)

откуда видно, что

Определение пройденного точкой пути.

(Определение интеграла через предел, геометрический смысл интеграла) Рассмотрим теперь движение материальной точки по некоторой траектории. Будем полагать, что для каждого момента времени известен модуль скорости точки, т.е. дана зависимость (см. рис. 3). Разобьем траекторию движения точки на N малых участков Δ s _i, , соответствующих интервалам времени Δ t _i. Будем считать, что в пределах каждого участка Δ s _i скорость тела остается приблизительно постоянной и равной υ_i. Тогда за время Δ t _i, двигаясь с постоянной скоростью υ_i, точка пройдет путь Δ s _i:

. (10)

Очевидно, что полный путь, пройденный точкой, будет приближенно равен

. (12)

Равенство (12) будет тем точнее, чем меньше рассматриваемые промежутки времени. В пределе при Δ t _i→0 равенство (12) станет точным, т.е.

. (13)

Однако, согласно определению, (13) есть ни что иное, как интеграл

. (14)

Таким образом, для определения пройденного точкой пути за интервал времени необходимо взять интеграл от модуля скорости по времени. Из анализа рис. 3 становится ясен геометрический смысл формулы (14):

путь, пройденный точкой за время , численно равен площади фигуры ABCD под графиком зависимости скорости точки от времени.

Примеры на вычисление пройденного точкой пути.

Дата добавления: 2014-01-11