Вычисление средних значений скалярных и векторных величин

Вычисление среднего значение скорости точки. При постановке вопроса о нахождении среднего значения скорости точки необходимо помнить, что скорость – векторная величина. Как мы увидим, вычисление среднего значения модуля вектора и среднего значения собственно вектора приводит к принципиально различным результатам. Для того, чтобы найти среднее значение модуля вектора скорости точки, вспомним, что согласно определению среднее значение скорости (точнее модуля скорости) равно отношению пройденного точкой пути к времени, за которое этот путь был пройден, т.е.

. (15)

Сравнивая (15) и (14) видим, что

. (16)

Формула (16) определяет правило нахождения среднего значения не только модуля скорости, но вообще любой скалярной или векторной величины.

Теперь на основе (16) легко получить выражение для среднего значения вектора скорости:

. (17)

С учетом ранее данного определения для скорости выражение (17) можно привести к виду

, (18)

где вектор r ₁₂ – вектор перемещения точки, т.е. вектор, проведенный из точки 1 в точку 2.

Сопоставляя (15), (16) и (17), (18) можно сделать важные выводы о том, что:

1) в отличие от среднего значения модуля вектора скорости, являющегося скалярной величиной, среднее значение вектора скорости есть величина векторная;

2) из рис. 1 и 2 видно, что, вообще говоря

,

так как пройденный точкой путь s не всегда равен ее перемещению .

Представление вектора скорости через вектор, касательный к траектории. Нормальная и касательная (тангенциальная) составляющие вектора ускорения. Рассмотрим рис. 4, на котором представлена траектория движения материальной точки. Введем в рассмотрение единичный вектор τ, направленный по касательной к траектории движения точки по направлению движения. Как нами было установлено ранее, вектор скорости также является касательным к траектории движения. Таким образом, вектора v и τ совпадают по направлению. Тогда вектор скорости можно представить в виде

. (19)

Исходя из данного ранее определения ускорения и учитывая (19) запишем следующее соотношение:

.

или

. (20)

Рассмотрим второе слагаемое (20) более детально. Ясно, что изменение во времени единичного вектора τ может быть связано только с изменением ориентации вектора в плоскости XY, т.е. с его поворотом. Рассмотрим в связи с этим рис. 5. Пусть за время Δ t вектор τ совершил поворот на угол Δφ. Представим вектор Δ τ виде

, (21)

где - единичный вектор, направленный вдоль вектора . Вспомним, что длина дуги окружности, опирающейся на угол Δφ, равна

. Модуль вектора является хордой окружности радиусом . В связи с эти . Тогда формула (21) принимает следующий вид

. (22)

Ясно, что с уменьшением рассматриваемого интервала времени Δ t и соответственно угла поворота Δφ приближенное равенство (22) будет становиться все более точным. Разделив (22) на Δ t и устремляя Δ t к нулю, в пределе получим

.

Таким образом,

. (23)

Рассматривая рис. 5, можно заметить, что при уменьшении угла поворота Δφ вектор e _τ постепенно поворачивается и при занимает перпендикулярное к вектору τ (и соответственно к траектории) положение. Поэтому последнему соотношению можно придать следующий вид

, (24)

где n – вектор единичной нормали к траектории движения в точке М (см. рис. 4). Построим теперь окружность такую, что траектория движения точки сливается с этой окружностью на бесконечно малом участке ds. Из (4) следует, что

, (25)

где υ – скорость материальной точки в точке M траектории. С другой стороны из рис. 6 видно, что

. (26)

Разделим обе части (26) на dt, получим

. (27)

С учетом (24) и (27) соотношение (20) можно переписать в виде

, (28)

где и - тангенциальная (касательная) и нормальная составляющие полного ускорения a. Как видно из (28)

. (29)

Замечание: точка Р на рис. 6 называется центром кривизны траектории в точке М, а радиус этой окружности называется радиусом кривизны траектории в точке М.

Пример на вычисление нормального, тангенциального ускорений, радиуса кривизны траектории в точке М (тело, брошенное с башни).

Кинематика вращательного движения твердого тела. Рассмотрим абсолютно твердое тело произвольной формы (см. рис. 7). Проведем через тело прямую AB. Определение: движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ остаются неподвижными называется вращением твердого тела вокруг неподвижной оси АВ. Прямая АВ называется осью вращения. Рассмотрим какую-либо точку М, принадлежащую твердому телу. Так как тело абсолютно твердое, то расстояние точки М до оси вращения будет оставаться все время одинаковым. Следовательно, при вращении тела точка будет двигаться по окружности, описываемой концом радиус-вектора r, плоскость которой будет перпендикулярна оси вращения (см. рис. 7). Пусть за некоторый интервал времени Δ t точка М повернулась на некоторый угол Δφ (см. рис. 8). Такому повороту точки можно поставить в соответствие вектор Δφ поворота, модуль которого равен углу поворота Δφ, а направление совпадает с направлением поступательного перемещения правого винта, вращаемого по направлению движения точки М.

Определение: векторная величина ω, определяемая соотношением

, (30)

называется угловой скоростью вращения точки М. Из формулы (30) следует, что вектор угловой скорости сонаправлен с вектором элементарного поворота dφ.

Определение: вращение твердого тела, происходящее с постоянной угловой скоростью, называется равномерным вращением.

Установим связь между векторами и . Сначала введем понятие векторного произведения (определение, свойства). Заметим, что

1) ;

2) элементарный путь

.

Из последних соотношений следует, что

или

. (31)

Обратив теперь внимание на рис. 7, замечаем, что последнее равенство можно записать в векторном виде:

. (32)

Кроме того, поскольку , то соотношению (32) можно придать следующий вид:

. (33)

Соотношения (31) – (33) устанавливают связь в скалярном и векторном виде между линейной v и угловой ω скоростями.

Замечание: из приведенных соотношений следует, что при вращательном движении точки тела, находящиеся на различном расстоянии от оси вращения будут иметь различные по модулю линейные скорости. В тоже время ясно, что угловые скорости этих точек будут одинаковыми. Поэтому вращательное движение удобно описывать рассматривая не линейные, а угловые скорости точек.

Если вращение тела вокруг некоторой выбранной оси является равномерным, то все точки тела, вращаясь вокруг этой оси, совершать полный оборот вокруг оси вращения каждый раз за один и тот же промежуток времени. Из определения (30) для угловой скорости следует, что в случае равномерного движения

. (34)

Положив в (34) , что соответствует одному полному обороту вокруг оси для времени одного оборота получим

. (35)

Определение: величина T, определяемая соотношением (35), называется периодом вращения.

Определение: величина n, определяемая соотношением

, (36)

называется частотой вращения.

Угловое ускорение. Рассмотрим неравномерное вращение тела вокруг оси. В этом случае его угловая скорость изменяется течением времени.

Определение: векторная величина, равная

, (37)

называется угловым ускорением тела, вращающегося вокруг оси вращения. Из (37) следует, если угловая скорость тела увеличивается, то и вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости, в противном случае вектор ускорения оказывается направленным противоположно вектору угловой скорости.

Найдем теперь связь между векторами ε и а. По определению

.

Из определения векторного произведения следует, что есть вектор, направленный по касательной к траектории движения точки, а вектор - это вектор, направленный перпендикулярно траектории движения точки и направленный к центру окружности (центру кривизны). Таким образом, исходя из данных ранее определений для нормального и тангенциального ускорений можем заключить, что

, (38)

а

. (39)

Заметим, что

т.е.

. (40)

Дата добавления: 2014-01-11