Определение 2

Вектор , задаваемый формулой

,

называется вектором мгновенного углового ускорения подвижной системы координат. Здесь — вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат.

Из определения 2 и формулы (3.8.13) для вектора легко выводится формула связи мгновенного углового ускорения с базисными вектор-функциями и их вторыми производными по времени :

.

Вычислим проекции вектора на подвижные оси . Для этого последовательно умножим скалярно на равенство (3.8.13). При умножении на орт получим:

.

Здесь учли, что

Из тождеств (3.8.8)

(3.8.8)

имеем:

.

Поэтому окончательно находим

. (3.8.15)

Выражения для проекций , получим из формулы (3.8.15) круговой перестановкой

, .

Будем иметь

, . (3.8.16)

Справедливость их легко проверить умножением равенства (3.8.13)

, (3.8.13)

на векторы и скалярно.

Если в соотношения (3.8.15), (3.8.16) подставить (3.8.9) и (3.8.10):

(3.8.9)

(3.8.10)

являющиеся выражениями векторов , через элементы матрицы и ее производной , то получим связь проекций вектора на подвижные оси с направляющими косинусами векторов и их производными.

Эта связь имеет вид:

(3.8.17)

Формулы (3.8.17) позволяют вычислить вектор в проекциях на связанные оси через элементы матрицы ориентации и их производные , .

3º. Понятие вектора мгновенной угловой скорости
твердого тела

Как отмечено в §3, твердое тело имеет несчетное множество связанных систем координат. Все они обладают общими свойствами:

а) в этих системах координаты всех точек твердого тела остаются постоянными при любых движениях твердого тела;

б) базис каждой связанной системы координат сохраняет неизменными проекции на оси всех других связанных систем координат.

В отношении второго свойства (свойства б)) следует сделать оговорку. Оно справедливо для твердых тел, не являющихся стержнями, т.е. таких тел, все точки которых не сосредоточены на одной прямой.

В случае, когда моделью тела является прямая, любая система координат, которая одной своей координатной осью совпадает с точками твердого тела, а две другие оси ортогональны этой прямой и могут вращаться вокруг нее, также будет удовлетворять условию а), т.е.

будет удовлетворять определению понятия «связанной системы координат».

Чтобы не усложнять дальнейшие выводы, в случае твердого тела, сосредоточенного на одной прямой, в качестве связанных систем будем рассматривать только такие, которые неподвижны друг относительно друга (т.е. находятся в покое относительно друг друга).

Покажем, что векторы у всех связанных систем координат одного и того же твердого тела совпадают.

Пусть — вектор, неподвижный в связанной системе координат.

Докажем следующую лемму.

Дата добавления: 2014-01-11