Скорости и ускорения точек плоской фигуры

Координатный способ задания движения

Векторный способ задания движения

Поскольку на движениях плоской фигуры выполняется тождество (3.14.9)

, (3.14.9)

то согласно теореме, доказанной в §12 при рассмотрении вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, матрица ориентации плоской фигуры может быть задана одним углом . Через этот угол матрица записывается в виде:

. (3.14.10)

Вектор мгновенной угловой скорости фигуры при этом связан с производной по времени от угла следующей зависимостью

. (3.14.11)

Обозначим — положение точки фигуры относительно подвижного полюса в момент времени .

Тогда ее движение относительно точки отсчета задается вектор-функцией .

Очевидно, вектор-функция связана с движением точки в абсолютном пространстве относительно полюса следующим соотношением

.

Здесь — движение полюса связанной системы координат относительно точки отсчета .

Из уравнений связей (3.14.7):

, , , (3.14.7)

следуют тождества

(3.14.12)

На соотношения (3.14.12) можем смотреть как на ограничения движений точек фигуры, которые вытекают из определения плоской фигуры и из следующих ее свойств:

· фигура является плоским абсолютно твердым телом;

· она совершает движение по плоскости, совпадающей с плоскостью фигуры.

Поэтому векторную форму задания движения плоской фигуры можем записать, исходя из векторной формы задания движения, построенной для произвольного абсолютно твердого тела (см. (3.2.1) в §2).

Затем дополнить уравнения, указанные в этой форме, связями (3.14.12)

(3.14.12)

справедливыми для плоской фигуры.

С учетом обозначений, принятых в данном параграфе, уравнения (3.2.1) в §2

(3.2.1)

применительно к плоской фигуре примут вид

, , , (3.14.13)

где

.

В них обозначают координаты точки в связанной системе (постоянные величины), а и — вектор-функции, описывающие ориентацию плоской фигуры.

Таким образом, соотношения (3.14.13) — это векторная форма задания движения плоской фигуры в абсолютном пространстве.

Координатный способ задания движения плоской фигуры получим, если (3.14.13) запишем в проекциях на абсолютные оси.

Тогда с учетом (3.14.10)

. (3.14.10)

будем иметь:

(3.14.14)

Здесь — движение полюса связанной системы координат, заданное в координатной форме, а — угловое движение плоской фигуры.

Из (3.14.13):

, , , (3.14.13)

где

,

и из (3.14.14) следует, что если плоская фигура не является точкой, то она имеет три степени свободы положения
(для описания любого ее движения необходимо знать законы изменения трех независимых координат ).

Если плоская фигура — это точка, то для описания любого ее движения необходимо знать законы изменения двух координат и .

Следовательно, в этом случае она имеет две степени свободы положения.

Распределение скоростей и ускорений точек плоской фигуры определим из формул Эйлера и Ривальса с учетом соотношения (3.14.11):

. (3.14.11)

В результате получим

,

,

причем, в этих соотношениях имеют место тождества

, , .

4º. Мгновенный центр скоростей.
Подвижная и неподвижная центроиды

4.1. Мгновенный центр скоростей.
Теорема существования

Дата добавления: 2014-01-11